《2025年资源库高中数学人教版》

例72 解关于x的不等式$ax^{2}-(a + 1)x + 1＜0$.

答案： 当$a＜0$时，解集$\{x|x＜\frac{1}{a}或x＞1\}$；当$a = 0$时，解集$\{x|x＞1\}$；当$0＜a＜1$时，解集$\{x|1＜x＜\frac{1}{a}\}$；当$a = 1$时，解集$\varnothing$；当$a＞1$时，解集$\{x|\frac{1}{a}＜x＜1\}$
解析：当$a = 0$时，不等式为$-x + 1＜0$，解得$x＞1$；
当$a\neq0$时，不等式化为$(ax - 1)(x - 1)＜0$，方程$(ax - 1)(x - 1)=0$的根为$x = 1$或$x=\frac{1}{a}$。
当$a＜0$时，$\frac{1}{a}＜1$，解集为$\{x|x＜\frac{1}{a}或x＞1\}$；
当$0＜a＜1$时，$\frac{1}{a}＞1$，解集为$\{x|1＜x＜\frac{1}{a}\}$；
当$a = 1$时，$\frac{1}{a}=1$，不等式无解，解集为$\varnothing$；
当$a＞1$时，$\frac{1}{a}＜1$，解集为$\{x|\frac{1}{a}＜x＜1\}$。

例73 若不等式$x^{2}+ax + 1\geq0$对于$\forall x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$成立,则a的取值范围是( ).
A.$\{a|a\geq0\}$
B.$\{a|a\geq - 2\}$
C.$\left\{a|a\geq-\frac{5}{2}\right\}$
D.$\{a|a\geq - 3\}$

答案： C
解析：设$f(x)=x^{2}+ax + 1$，对称轴为$x=-\frac{a}{2}$。
当$-\frac{a}{2}\leq0$，即$a\geq0$时，$f(x)$在$\left(0,\frac{1}{2}\right)$上单调递增，$f(x)＞f(0)=1\geq0$，成立；
当$0＜-\frac{a}{2}＜\frac{1}{2}$，即$-1＜a＜0$时，$f(x)_{min}=f\left(-\frac{a}{2}\right)=1-\frac{a^{2}}{4}\geq0$，解得$-2\leq a\leq2$，则$-1＜a＜0$；
当$-\frac{a}{2}\geq\frac{1}{2}$，即$a\leq - 1$时，$f(x)$在$\left(0,\frac{1}{2}\right)$上单调递减，$f(x)_{min}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{a}{2}+1\geq0$，解得$a\geq-\frac{5}{2}$，则$-\frac{5}{2}\leq a\leq - 1$。
综上，$a\geq-\frac{5}{2}$。

例74 设函数$f(x)=mx^{2}-mx - 1$.
(1)若对一切实数x,$f(x)＜0$恒成立,求m的取值范围;
(2)若当$-2\leq m\leq2$时,$f(x)＜-m + 5$恒成立,求x的取值范围.

答案： （1）$\{m|-4＜m\leq0\}$；（2）$\{x|-1＜x＜2\}$
解析：
(1)当$m = 0$时，$f(x)=-1＜0$恒成立；当$m\neq0$时，需$\begin{cases}m＜0\\\Delta=m^{2}+4m＜0\end{cases}$，解得$-4＜m＜0$，综上，$-4＜m\leq0$。
(2)不等式$f(x)＜-m + 5$可化为$m(x^{2}-x + 1)-6＜0$，设$g(m)=m(x^{2}-x + 1)-6$，因为$x^{2}-x + 1＞0$，所以$g(m)$在$[-2,2]$上单调递增，$g(m)_{max}=g(2)=2(x^{2}-x + 1)-6＜0$，即$x^{2}-x - 2＜0$，解得$-1＜x＜2$。

例75 已知$1\leq a - b\leq2$且$2\leq a + b\leq4$,求$4a - 2b$的取值范围.

答案： $[5,10]$
解析：设$4a - 2b = m(a + b)+n(a - b)=(m + n)a+(m - n)b$，则$\begin{cases}m + n = 4\\m - n=-2\end{cases}$，解得$m = 1$，$n = 3$，所以$4a - 2b=(a + b)+3(a - b)$。因为$1\leq a - b\leq2$，所以$3\leq3(a - b)\leq6$，又$2\leq a + b\leq4$，则$5\leq(a + b)+3(a - b)\leq10$。