《2025年资源库高中数学人教版》

例141 [全国高考]如图2-1-4是下列四个函数中的某个函数在区间$[-3,3]$的大致图象，则该函数是（ ）.
A. $ y=\frac{-x^{3}+3x}{x^{2}+1} $
B. $ y=\frac{x^{3}-x}{x^{2}+1} $
C. $ y=\frac{2x\cos x}{x^{2}+1} $
D. $ y=\frac{2\sin x}{x^{2}+1} $

答案： A
B中$ x = 1 $时$ y = 0 $不符；D中$ x = 3 $时$ y＞0 $不符；C中$ x\in(0,1) $时$ y=\frac{2x\cos x}{x^{2}+1}＜1 $不符；A中$ y=\frac{-x(x^{2}-3)}{x^{2}+1} $，零点$ x = 0,\pm\sqrt{3} $，$ x = 1 $时$ y = 1 $，符合图象。

例142（多选）[全国新高考]信息熵是信息论中的一个重要概念。设随机变量$ X $所有可能的取值为1，2，…，$ n $，且$ P(X = i)=p_{i}＞0(i = 1,2,\cdots,n) $，$ \sum_{i = 1}^{n}p_{i}=1 $，定义$ X $的信息熵$ H(X)=-\sum_{i = 1}^{n}p_{i}\log_{2}p_{i} $。（ ）.
A. 若$ n = 1 $，则$ H(X)=0 $
B. 若$ n = 2 $，则$ H(X) $随着$ p_{1} $的增大而增大
C. 若$ p_{i}=\frac{1}{n}(i = 1,2,\cdots,n) $，则$ H(X) $随着$ n $的增大而增大
D. 若$ n = 2m $，随机变量$ Y $所有可能的取值为1，2，…，$ m $，且$ P(Y = j)=p_{j}+p_{2m + 1 - j}(j = 1,2,\cdots,m) $，则$ H(X)\leq H(Y) $

答案： AC
$ n = 1 $时$ p_{1}=1 $，$ H(X)=-1×\log_{2}1 = 0 $，A正确；$ n = 2 $时$ H(X)=-[p_{1}\log_{2}p_{1}+(1 - p_{1})\log_{2}(1 - p_{1})] $，关于$ p_{1}=\frac{1}{2} $对称，非单调，B错误；$ p_{i}=\frac{1}{n} $时$ H(X)=\log_{2}n $，随$ n $增大而增大，C正确；$ H(X)-H(Y)=\sum p_{i}\log_{2}\frac{p_{i}+p_{j}}{p_{i}}＞0 $，$ H(X)＞H(Y) $，D错误。