《2025年资源库高中数学人教版》

例321 [北京高考]已知正方形ABCD的边长为1,E是AB边上的动点,则$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{CB}$的值为___；$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DC}$的最大值为___.

答案： 1；1
解析：以点A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，可得$B(1,0)$，$C(1,1)$，$D(0,1)$。设$E(t,0)(0 \leq t \leq 1)$，则$\overrightarrow{DE} = (t,-1)$，$\overrightarrow{CB} = (0,-1)$，$\overrightarrow{DC} = (1,0)$。
$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{CB} = (t,-1) \cdot (0,-1) = 1$；$\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DC} = (t,-1) \cdot (1,0) = t$，因为$0 \leq t \leq 1$，所以最大值为1。

例322 已知$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$是非零向量,当$\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}(t \in \mathbf{R})$的模取得最小值时,(1)求t的值；(2)已知$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线且同向,求证:$\boldsymbol{b} \perp (\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b})$.

答案：
(1)$t = -\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}$；
(2)证明见解析
解析：
(1)$|\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}| = \sqrt{(\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b})^2} = \sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 + t^2|\boldsymbol{b}|^2 + 2t\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}} = \sqrt{|\boldsymbol{b}|^2t^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}t + |\boldsymbol{a}|^2}$，当$t = -\frac{2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{2|\boldsymbol{b}|^2} = -\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}$时，模取得最小值。
(2)因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线且同向，所以设$\boldsymbol{a} = k\boldsymbol{b}(k ＞ 0)$，则$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = k|\boldsymbol{b}|^2$，$t = -\frac{k|\boldsymbol{b}|^2}{|\boldsymbol{b}|^2} = -k$。
$\boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{b} \cdot (k\boldsymbol{b} - k\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{b} \cdot 0 = 0$，所以$\boldsymbol{b} \perp (\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b})$。

例323 已知向量$\boldsymbol{a} = (3,4)$,$\boldsymbol{b} = (2,-1)$,向量$\boldsymbol{a} + x\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$垂直,求x的值.

答案： $x = \frac{23}{3}$
解析：$\boldsymbol{a} + x\boldsymbol{b} = (3 + 2x,4 - x)$，$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (1,5)$。
因为$(\boldsymbol{a} + x\boldsymbol{b}) \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$，所以$(\boldsymbol{a} + x\boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 0$，即$(3 + 2x)×1 + (4 - x)×5 = 0$，解得$x = \frac{23}{3}$。

例324 已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的夹角为$30°$,且$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{3}$,$|\boldsymbol{b}| = 1$,求向量$\boldsymbol{p} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{q} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$的夹角的余弦值.

答案： $\frac{2\sqrt{7}}{7}$
解析：$\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{q} = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - |\boldsymbol{b}|^2 = 3 - 1 = 2$。
$|\boldsymbol{p}| = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2} = \sqrt{3 + 2\sqrt{3}×1×\cos30° + 1} = \sqrt{7}$，$|\boldsymbol{q}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2} = \sqrt{3 - 2\sqrt{3}×1×\cos30° + 1} = 1$。
设夹角为$\theta$，则$\cos\theta = \frac{\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{q}}{|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{q}|} = \frac{2}{\sqrt{7}×1} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$。