《2025年资源库高中数学人教版》

例85 [浙江高考]设a∈R,若x>0时均有$[(a - 1)x - 1](x^{2}-ax - 1)\geq0$,则a = ______.

答案： $\frac {3}{2}$
解析：函数$y_{1}=(a - 1)x - 1$，$y_{2}=x^{2}-ax - 1$的图象都过点$P(0,-1)$。令$y_{1}=0$，得$x=\frac {1}{a - 1}$（$a＞1$），此点也在$y_{2}$上，代入得$\left(\frac {1}{a - 1}\right)^{2}-a\cdot\frac {1}{a - 1}-1 = 0$，解得$a=\frac {3}{2}$或$a = 0$（舍去）。

例86 [全国高考]古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是$\frac {\sqrt{5}-1}{2}$（$\frac {\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$,称为黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是$\frac {\sqrt{5}-1}{2}$.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( ).
A.165 cm
B.175 cm
C.185 cm
D.190 cm

答案： B
解析：设头顶至肚脐长度为$a$，肚脐至足底长度为$b$，头顶至咽喉长度为$c$，咽喉至肚脐长度为$d$，身高为$h=a + b$。由$\frac {a}{b}=0.618$，$b＞105$，得$a＞105×0.618≈64.89$；由$\frac {c}{d}=0.618$，$c＜26$，得$d＜\frac {26}{0.618}≈42.07$，则$a = c + d＜26 + 42.07=68.07$。所以$h=a + b＜68.07 + 105 + 26=199.07$，$h＞64.89 + 105=169.89$，结合选项选B。

例87 设a∈R,关于x的一元二次不等式$7x^{2}-(a + 13)x + a^{2}-a - 2＜0$的解集是$\{x|α＜x＜β\}$,且0＜α＜1＜β＜2,求实数a的取值范围.

答案： $\{a|-2＜a＜-1或3＜a＜4\}$
解析：令$f(x)=7x^{2}-(a + 13)x + a^{2}-a - 2$，由题意得$\begin{cases}f(0)＞0\\f(1)＜0\\f(2)＞0\end{cases}$，即$\begin{cases}a^{2}-a - 2＞0\\a^{2}-2a - 8＜0\\a^{2}-3a＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a＜-1或a＞2\\-2＜a＜4\\a＜0或a＞3\end{cases}$，综上$-2＜a＜-1$或$3＜a＜4$。