《2025年资源库高中数学人教版》

【例】(1)已知$ z\in\mathbf{C} $,且$|z| = 1$,求$|z - 3 + 5i|$的最大值和最小值;

答案： 最大值为$\sqrt{34}+1$，最小值为$\sqrt{34}-1$
解析：方法一（数形结合法）：$|z| = 1$表示复平面内以原点为圆心，1为半径的圆。$|z - 3 + 5i|=|z-(3 - 5i)|$表示圆上的点到点$(3,-5)$的距离。点$(3,-5)$到原点的距离为$\sqrt{3^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{34}$，所以最大值为$\sqrt{34}+1$，最小值为$\sqrt{34}-1$。
方法二（应用复数模的基本不等式）：$||z|-|3 - 5i||\leq|z-(3 - 5i)|\leq|z|+|3 - 5i|$，即$|\sqrt{34}-1|\leq|z - 3 + 5i|\leq\sqrt{34}+1$，故最大值为$\sqrt{34}+1$，最小值为$\sqrt{34}-1$。

(2)如图5-6,满足$|z - 3i| = 5$的复数$z$所对应的点是以$C(0,3)$为圆心,5为半径的圆.求$|z + 2|$的最大值和最小值.

答案： 最大值为$5+\sqrt{13}$，最小值为$5-\sqrt{13}$
解析：$|z + 2|=|z-(-2 + 0i)|$表示圆上的点到点$(-2,0)$的距离。点$(-2,0)$到圆心$C(0,3)$的距离为$\sqrt{(-2-0)^{2}+(0 - 3)^{2}}=\sqrt{13}$，所以最大值为$5+\sqrt{13}$，最小值为$5-\sqrt{13}$。

例404 已知$m\in\mathbf{R}$,复数$z=\frac{m(m - 2)}{m - 1}+(m^{2}+2m - 3)i$,当$m$为何值时,满足:(1)$z\in\mathbf{R}$;(2)$z$是纯虚数;(3)$z$在复平面内对应的点位于第二象限;(4)$z$在复平面内对应的点在直线$x + y + 3 = 0$上.

答案：
(1)$m=-3$
解析：$z\in\mathbf{R}$需虚部为0且分母不为0，即$\begin{cases}m^{2}+2m - 3 = 0\\m - 1\neq0\end{cases}$，解得$m=-3$。
(2)$m = 0$或$m = 2$
解析：$z$是纯虚数需实部为0且虚部不为0，即$\begin{cases}\frac{m(m - 2)}{m - 1}=0\\m^{2}+2m - 3\neq0\end{cases}$，解得$m = 0$或$m = 2$。
(3)$m\in(-\infty,-3)\cup(1,2)$
解析：$z$在第二象限需实部小于0且虚部大于0，即$\begin{cases}\frac{m(m - 2)}{m - 1}＜0\\m^{2}+2m - 3＞0\end{cases}$且$m\neq1$，解得$m＜-3$或$1＜m＜2$。
(4)$m = 0$或$m=-1\pm\sqrt{5}$
解析：点在直线$x + y + 3 = 0$上，即$\frac{m(m - 2)}{m - 1}+(m^{2}+2m - 3)+3 = 0$，化简得$\frac{m(m^{2}+2m - 4)}{m - 1}=0$，解得$m = 0$或$m=-1\pm\sqrt{5}$。