《2025年资源库高中数学人教版》

1. 空间向量的相关概念及表示方法
（1）空间向量的定义
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.
（2）空间向量的表示方法
◆用有向线段表示.
◆用字母$a$，$b$，$c$，…表示.
◆用有向线段的起点字母与终点字母表示，如起点是$A$，终点是$B$的向量可以记作$\overrightarrow{AB}$.
（3）空间向量的长度（模）
空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，如图6-3-1，其模记为$|a|$或$|\overrightarrow{AB}|$.
2. 特殊的向量
（1）零向量：我们规定，长度为$0$的向量叫做零向量，记为$0$. 零向量的方向是任意的. 当有向线段的起点与终点重合时，$\overrightarrow{AB}=0$.
（2）单位向量：模为$1$的向量叫做单位向量.
（3）相反向量：与向量$a$长度相等而方向相反的向量，叫做$a$的相反向量，记为$-a$.
（4）相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
（5）共线向量或平行向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量$a$，都有$0// a$.
【说明】（1）一般地，$a = b$的充要条件是$|a|=|b|$，且$a$与$b$方向相同.
（2）共线向量的方向相同或相反.
（3）若$a$，$b$共线，则$a$，$b$所在直线既可能是同一直线也可能是平行直线.
1. 空间向量的加减运算
（1）空间向量加减法的定义
任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一个平面内的向量，则任意两个空间向量的运算可以转化为平面向量的运算. 如图6-3-2，已知空间向量$a$，$b$，以任意点$O$为起点，作向量$\overrightarrow{OA}=a$，$\overrightarrow{OB}=b$，我们就可以把它们平移到同一个平面$\alpha$内. 由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法和减法运算（如图6-3-3）：
$a + b=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$；$a - b=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA}$.
【说明】（1）两个平面向量相加减的三角形法则与平行四边形法则在空间中仍然成立. 因而，当求首尾相接的两向量之和时，可考虑用三角形法则；当求共起点的两向量之和时，可考虑用平行四边形法则.
（2）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，如$\overrightarrow{A_{1}A_{2}}+\overrightarrow{A_{2}A_{3}}+\overrightarrow{A_{3}A_{4}}+\cdots+\overrightarrow{A_{n-1}A_{n}}=\overrightarrow{A_{1}A_{n}}$（多边形折线法则）.
（3）首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为$0$. 如图6-3-4，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{HO}=0$.

答案：