《2025年资源库高中数学人教版》

例如,0＜x＜$\frac{3}{2}$,求(3-2x)x的最大值.

答案： 最大值为$\frac{9}{16}$
解析：将原式变形为$(3-2x) \cdot 2x \cdot \frac{1}{2}$，此时$2x+(3-2x)=3$为定值，且$2x＞0$，$3-2x＞0$。根据基本不等式$ab \leq (\frac{a+b}{2})^2$，可得$(3-2x) \cdot 2x \leq (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$，则$(3-2x)x \leq \frac{9}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{16}$，当且仅当$2x = 3 - 2x$，即$x = \frac{3}{4}$时等号成立。

例如,y=$\sqrt{2x^2+3}$+$\frac{1}{\sqrt{2x^2+3}}$,满足“正”和“定值”的条件,但要取等号必须满足$\sqrt{2x^2+3}$=$\frac{1}{\sqrt{2x^2+3}}$,即$2x^2+3=1$,这是不可能的,所以其最小值不是2.

答案： 该函数最小值不是2
解析：假设等号成立，则$\sqrt{2x^2+3} = \frac{1}{\sqrt{2x^2+3}}$，两边平方得$2x^2 + 3 = 1$，即$2x^2 = -2$，此方程无实数解，所以等号不成立，函数最小值不是2。