《2025年资源库高中数学人教版》

例257 [全国新课标Ⅰ2024·7]当$x\in[0,2\pi]$时，曲线$y = \sin x$与$y=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$的交点个数为（ ）.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8

答案： C
解析：令$3x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k_{1}\pi,k_{1}\in\mathbf{Z}$，则$x=\frac{2\pi}{9}+\frac{k_{1}\pi}{3},k_{1}\in\mathbf{Z}$，结合$x\in[0,2\pi]$，得$x=\frac{2\pi}{9},\frac{5\pi}{9},\frac{8\pi}{9},\frac{11\pi}{9},\frac{14\pi}{9},\frac{17\pi}{9}$。令$3x-\frac{\pi}{6}=k_{2}\pi,k_{2}\in\mathbf{Z}$，则$x=\frac{\pi}{18}+\frac{k_{2}\pi}{3},k_{2}\in\mathbf{Z}$，结合$x\in[0,2\pi]$，得$x=\frac{7\pi}{18},\frac{13\pi}{18},\frac{19\pi}{18},\frac{25\pi}{18},\frac{31\pi}{18}$。作出函数图象，可知两函数图象共有6个交点，故选C。

例258 [全国甲（理）2023·10]函数$y = f(x)$的图象由函数$y=\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$的图象向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度得到，则$y = f(x)$的图象与直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$的交点个数为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案： C
解析：由题意知$f(x)=\cos\left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=\cos\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin2x$。画出函数$f(x)=-\sin2x$的图象和直线$y = \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，由图象可知，两图象有3个交点，故选C。