《2025年资源库高中数学人教版》

例549 如图6-3-40，在长方体OAEB-O₁A₁E₁B₁中，OA=3，OB=4，OO₁=2，点P在棱AA₁上，且AP=2PA₁，点S在棱BB₁上，且SB₁=2BS，点Q、R分别是棱O₁B₁、AE的中点.求证：PQ//RS.

答案： 证明：建立坐标系得P(3,0,$\frac{4}{3}$)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,$\frac{2}{3}$)。$\overrightarrow{PQ}=(-3,2,\frac{2}{3})$，$\overrightarrow{RS}=(-3,2,\frac{2}{3})$，$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}$，所以PQ//RS。

例550 如图6-3-42，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠BFC=90°，BF=FC，H为线段BC的中点.求证：FH//平面EDB.

答案： 证明：以H为原点建立坐标系，设BH=1，得H(0,0,0)，E(0,-1,1)，F(0,0,1)，G(0,-1,0)。$\overrightarrow{HF}=(0,0,1)$，$\overrightarrow{GE}=(0,0,1)$，$\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{GE}$，HF//GE，GE⊂平面EDB，HF⊄平面EDB，所以FH//平面EDB。

例551 如图6-3-43，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：平面A₁BD//平面CB₁D₁.

答案： 证明：设正方体棱长为1，建立坐标系得平面A₁BD的法向量n₁=(-1,1,1)，平面CB₁D₁的法向量n₂=(-1,1,1)，n₁//n₂，所以平面A₁BD//平面CB₁D₁。