《2025年资源库高中数学人教版》

（1）函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数的定义可变形为$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{-\Delta x}$或$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$。

答案： 该定义正确，这是导数定义的两种常见等价变形形式。

（2）导数是一个局部概念，它只与函数$y = f(x)$在$x_0$及其附近的函数值有关，与$\Delta x$无关。

答案： 该说法正确，导数反映的是函数在某一点处的局部变化率，其值由函数在$x_0$附近的函数值决定，与自变量的增量$\Delta x$无关。

（3）函数$y = f(x)$应在$x_0$及其附近有意义，否则函数在该点的导数不存在。若极限$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$不存在，则称函数$f(x)$在$x = x_0$处不可导。

答案： 该说法正确，函数在某点可导的前提是函数在该点及其附近有定义，且相应的极限存在，若极限不存在则函数在该点不可导。

2. 求函数$y = f(x)$在$x = x_0$处导数的步骤

答案： （1）求函数值的变化量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$；
（2）求平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$；
（3）取极限，得导数$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$。

3. 导数的物理意义：瞬时速度就是路程函数$s(t)$在$t = t_0$处的导数，即$v_0=s'(t_0)=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$。

答案： 该表述正确，这是导数在物理中描述瞬时速度的具体体现。

4. 导数的几何意义：曲线$y = f(x)$在点$P_0(x_0,y_0)$处的切线的斜率$k_0$就是函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$，即$k_0=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)$。

答案： 该表述正确，导数的几何意义就是曲线在该点处切线的斜率。

【易错辨析】曲线$y = f(x)$“在”点$P(x_0,y_0)$处的切线与“过”点$P(x_0,y_0)$的切线的区别：曲线$y = f(x)$“在”点$P(x_0,y_0)$处的切线是指点$P$为切点，若切线斜率存在，则切线斜率$k = f'(x_0)$，且切线唯一；曲线$y = f(x)$“过”点$P(x_0,y_0)$的切线，是指切线经过点$P$，点$P$可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能不止一条。

答案： 该辨析内容正确，清晰指出了“在”点处切线和“过”点处切线的本质区别。

5. 导函数：从求函数$y = f(x)$在$x = x_0$处导数的过程可以看到，当$x = x_0$时，$f'(x_0)$是一个唯一确定的数。这样，当$x$变化时，$y = f'(x)$就是$x$的函数，我们称它为$y = f(x)$的导函数（简称导数）。$y = f(x)$的导函数有时也记作$y'$，即$f'(x)=y'=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。

答案： 该定义正确，导函数是函数在其定义域内每一点处导数构成的新函数。

【说明】（1）并不是所有的函数都有导数。（2）区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有变化量。（3）$f'(x_0)$与$[f(x_0)]'$的区别：$f'(x_0)$代表函数$f(x)$在$x = x_0$处的导数值，不一定为$0$；$[f(x_0)]'$是函数值$f(x_0)$的导数，因为$f(x_0)$是一个常数，所以其导数一定为$0$，即$[f(x_0)]' = 0$。

答案： 该说明内容正确，（1）例如函数$y = |x|$在$x = 0$处不可导；（2）区间端点处自变量增量$\Delta x$可能使函数无定义，所以导函数定义区间一般为开区间；（3）明确区分了函数在某点的导数值与该点函数值的导数（常数的导数为0）。