《2025年状元成才路创优作业七年级数学上册湘教版》

1. [2025·衡阳市衡阳县期末]有这样一道题：“计算$(2x^{3}-3x^{2}y-2xy^{2})-(x^{3}-2xy^{2}+y^{3})+(-x^{3}+3x^{2}y-y^{3})$的值,其中$x= \frac{1}{2},y= -1$.”
甲同学把“$x= \frac{1}{2}$”错抄成“$x= -\frac{1}{2}$”,但他计算的结果却是正确的,你知道这是什么原因吗？

答案： 解:原式=2x³-3x²y-2xy²-x³+2xy²-y³-x³+3x²y-y³=-2y³.所以原式的值与x的取值无关,故甲同学把“x=1/2”错抄成“x=-1/2”,但他计算的结果却是正确的.

2. 已知关于$x$,$y的多项式A$,$B$,其中$A= mxy^{2}-ny^{2}+y$($m$,$n$为常数),$B= 2y^{2}-xy^{2}-5$.
(1)化简：$A - 3B$；
(2)若$A - 3B的结果不含xy^{2}项和y^{2}$项,求$m$,$n$的值.

答案：
(1)(m+3)xy²+(-n-6)y²+y+15.
(2)m=-3,n=-6.

3. 已知关于$x$,$y的多项式(2x^{2}+ax - y + 6)-(bx^{2}-2x + 5y - 1)$.
(1)若多项式的值与字母$x$的取值无关,求$a$,$b$的值；
(2)在(1)的条件下,先化简多项式$2(a^{2}-ab + b^{2})-(a^{2}+ab + 2b^{2})$,再求它的值.

答案： 解:
(1)(2x²+ax-y+6)-(bx²-2x+5y-1)=2x²+ax-y+6-bx²+2x-5y+1=(2-b)x²+(a+2)x-6y+7.因为多项式的值与字母x的取值无关,所以a+2=0,2-b=0,所以a=-2,b=2.
(2)2(a²-ab+b²)-(a²+ab+2b²)=2a²-2ab+2b²-a²-ab-2b²=a²-3ab.将a用-2,b用2代入,则a²-3ab=(-2)²-3×(-2)×2=16.

4. 一个两位数$M$,它的个位数字是$a$,十位数字比个位数字大$3$,把$M的十位数字与个位数字交换位置后得到一个新的两位数N$.
(1)用含$a的式子表示数M + N$.
(2)小勤说：“$M + N一定能被11$整除.”她的说法对吗？为什么？

答案： 解:
(1)由题意,得M=10(a+3)+a=10a+30+a=11a+30,N=10a+a+3=11a+3.所以M+N=11a+30+11a+3=22a+33.
(2)她的说法对.理由:因为2a+3为整数,所以22a+33=11(2a+3)一定能被11整除,即M+N一定能被11整除,故小勤的说法对.