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7. 一列火车在$ A $城的正北240km处,以120km/h的速度向正南方向行驶,同时,一辆汽车在$ A $城的正东120km处,以120km/h的速度向正西方向行驶.假设火车和汽车的行驶方向和速度都保持不变,问何时火车与汽车之间的距离最近？当火车与汽车距离最近时,汽车是否已过$ A $城(火车与汽车的长度忽略不计)?
答案：
解:如答图,设经过t(h),火车到达B处,汽车到达C处，
则AB=|240−120t|km,AC=|120−120t|km.
在Rt△ABC中,
BC=$\sqrt{AB^2+AC^2}$=$\sqrt{(240-120t)^2+(120-120t)^2}$=$\sqrt{120^2(2-t)^2+120^2(1-t)^2}$=120$\sqrt{2t^2-6t+5}$=120$\sqrt{2\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{2}}$.
当t=$\frac{3}{2}$h时,BC最小,此时BC=120$\sqrt{\frac{1}{2}}$=60$\sqrt{2}$(km).
∵当t=$\frac{3}{2}$h时,汽车行驶的路程为120×$\frac{3}{2}$=180(km)＞120km,
∴汽车已过A城.
答:当经过$\frac{3}{2}$h时,火车与汽车之间的距离最近，此时汽车已过A城.
解:如答图,设经过t(h),火车到达B处,汽车到达C处，
则AB=|240−120t|km,AC=|120−120t|km.
在Rt△ABC中,
BC=$\sqrt{AB^2+AC^2}$=$\sqrt{(240-120t)^2+(120-120t)^2}$=$\sqrt{120^2(2-t)^2+120^2(1-t)^2}$=120$\sqrt{2t^2-6t+5}$=120$\sqrt{2\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{2}}$.
当t=$\frac{3}{2}$h时,BC最小,此时BC=120$\sqrt{\frac{1}{2}}$=60$\sqrt{2}$(km).
∵当t=$\frac{3}{2}$h时,汽车行驶的路程为120×$\frac{3}{2}$=180(km)＞120km,
∴汽车已过A城.
答:当经过$\frac{3}{2}$h时,火车与汽车之间的距离最近，此时汽车已过A城.
8. 某企业设计生产了一批运动服,每套的成本是65元,为了合理定价,先投放市场进行试销,要求批发价不得低于成本.据市场调查,每天的销售量$ y $(件)与批发价$ x $(元)成一次函数关系(如图所示).
(1)请写出$ y 与 x $之间的函数表达式；并求出当批发价为80元时,每天的销售量.
(2)求出每天的销售利润$ w $(元)与批发价$ x $(元)之间的函数表达式.
(3)如果该企业每天的生产成本不超过39000元,那么当批发价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少(每天的成本= 每套成本×每天的销售量)?
(1)请写出$ y 与 x $之间的函数表达式；并求出当批发价为80元时,每天的销售量.
(2)求出每天的销售利润$ w $(元)与批发价$ x $(元)之间的函数表达式.
(3)如果该企业每天的生产成本不超过39000元,那么当批发价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少(每天的成本= 每套成本×每天的销售量)?
答案：
解:
(1)设y=kx+b,把点(105,600),(110,500)的坐标分别代入y=kx+b,得
$\begin{cases} 105k+b=600, \\ 110k+b=500, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-20, \\ b=2700, \end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为y=-20x+2700.
当x=80时,y=-20×80+2700 =1100,即每天的销售量是1100件.
(2)w=(x−65)(-20x+2700)
=−20x²+4000x−175500.
(3)
∵每天的生产成本不超过39000元,
∴65(-20x+2700)≤39000,解得x≥105.
∵w=-20x²+4000x−175500 =-20(x−100)²+24500,
∴对称轴为直线x=100,在对称轴右侧,w随x的增大而减小，
∴当x=105时,w最大,为24000.
答:当批发价为105元时，每天的销售利润最大，最大利润是24000元.
(1)设y=kx+b,把点(105,600),(110,500)的坐标分别代入y=kx+b,得
$\begin{cases} 105k+b=600, \\ 110k+b=500, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-20, \\ b=2700, \end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为y=-20x+2700.
当x=80时,y=-20×80+2700 =1100,即每天的销售量是1100件.
(2)w=(x−65)(-20x+2700)
=−20x²+4000x−175500.
(3)
∵每天的生产成本不超过39000元,
∴65(-20x+2700)≤39000,解得x≥105.
∵w=-20x²+4000x−175500 =-20(x−100)²+24500,
∴对称轴为直线x=100,在对称轴右侧,w随x的增大而减小，
∴当x=105时,w最大,为24000.
答:当批发价为105元时，每天的销售利润最大，最大利润是24000元.
9. 如图,排球运动员站在$ O $处练习发球,将球从点$ O $正上方2m的点$ A $处发出,把球看成点,其运行的高度$ y(m) 与运行的水平距离 x(m) 满足函数表达式 y = a(x - 6)^{2} + h $.已知球网与点$ O $的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界与点$ O $的水平距离为18m.
(1)当$ h = 2.6 $时,求$ y 与 x $之间的函数表达式.
(2)当$ h = 2.6 $时,球能否越过球网？球是否会出界？
(3)若球一定能越过球网,又不出界,则$ h $的取值范围是多少？
(1)当$ h = 2.6 $时,求$ y 与 x $之间的函数表达式.
(2)当$ h = 2.6 $时,球能否越过球网？球是否会出界？
(3)若球一定能越过球网,又不出界,则$ h $的取值范围是多少？
答案：
解:
(1)当h=2.6时,y=a(x−6)²+2.6.
∵点A(0,2)在抛物线上，
∴2=a(0−6)²+2.6,解得a=−$\frac{1}{60}$,
∴y与x之间的函数表达式为y=−$\frac{1}{60}$(x−6)²+2.6.
(2)
∵当x=9时,y=−$\frac{1}{60}$×(9 - 6)²+2.6=2.45＞2.43,
∴球能越过球网.
∵当x=18时,y=−$\frac{1}{60}$×(18−6)²+2.6=0.2＞0,
∴球会出界.
(3)把点A(0,2)的坐标代入y=a(x−6)²+h,得36a+h=2.①
若球一定能越过球网，则9a十h ＞2.43.②
若球不出界,则144a十h≤0.③
由①②,得h＞$\frac{193}{75}$.
由①③,得h≥$\frac{8}{3}$.
综上所述，h的取值范围是h ≥$\frac{8}{3}$.
(1)当h=2.6时,y=a(x−6)²+2.6.
∵点A(0,2)在抛物线上，
∴2=a(0−6)²+2.6,解得a=−$\frac{1}{60}$,
∴y与x之间的函数表达式为y=−$\frac{1}{60}$(x−6)²+2.6.
(2)
∵当x=9时,y=−$\frac{1}{60}$×(9 - 6)²+2.6=2.45＞2.43,
∴球能越过球网.
∵当x=18时,y=−$\frac{1}{60}$×(18−6)²+2.6=0.2＞0,
∴球会出界.
(3)把点A(0,2)的坐标代入y=a(x−6)²+h,得36a+h=2.①
若球一定能越过球网，则9a十h ＞2.43.②
若球不出界,则144a十h≤0.③
由①②,得h＞$\frac{193}{75}$.
由①③,得h≥$\frac{8}{3}$.
综上所述，h的取值范围是h ≥$\frac{8}{3}$.
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