《2025年全效学习阶段发展评价九年级数学全一册浙教版》

6. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形,且位似比为 $ \frac{1}{3} $,点 A,B,E 在 x 轴上. 若正方形 BEFG 的边长为 6,则点 C 的坐标为(3, 2)

A.$ (3,2) $
B.$ (3,1) $
C.$ (2,2) $
D.$ (4,2) $

答案： A 【解析】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BC}{EF}$ = $\frac{OB}{OE}$ = $\frac{1}{3}$。
∵BE = EF = 6，
∴$\frac{BC}{6}$ = $\frac{OB}{OB + 6}$ = $\frac{1}{3}$。
∴BC = 2，OB = 3，
∴点C的坐标为(3, 2)。

7. 如图,$ △AOB $ 三个顶点的坐标分别为 $ A(8,0) $,$ O(0,0) $,$ B(8,-6) $,M 为 OB 的中点,以点 O 为位似中心,把 $ △AOB $ 缩小为原来的 $ \frac{1}{2} $,得到 $ △A'O'B' $,$ M' $ 为 $ O'B' $ 的中点,则 $ MM' $ 的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{2}$.

答案： $\frac{5}{2}$或$\frac{15}{2}$ 【解析】由题意，得OA = 8，AB = 6，点O与点O'重合，
∴OB = 10，OM = 5，OM' = $\frac{1}{2}$OM = $\frac{5}{2}$。
当△A'O'B'在第四象限时，MM' = OM - OM' = $\frac{1}{2}$OM = $\frac{5}{2}$；
当△A'O'B'在第二象限时，MM' = OM + OM' = $\frac{15}{2}$。
综上所述，MM'的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{2}$。

8. 如图,$ □ABCD $ 的对角线 AC,BD 相交于点 O,E,F,G,H 分别是线段 OA,OB,OC,OD 的中点,判断 $ □ABCD $ 与四边形 EFGH 是否为位似图形,并说明理由.

答案： 解:是。理由如下:
∵E，F分别是OA，OB的中点，
∴EF = $\frac{1}{2}$AB，EF // AB。
同理，GH = $\frac{1}{2}$CD，GH // CD。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AB // CD，
∴EF = GH，EF // HG，
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵EF // AB，
∴∠OEF = ∠OAB。同理，∠OEH = ∠OAD，
∴∠HEF = ∠DAB。
同理，∠EFG = ∠ABC，∠FGH = ∠BCD，∠GHE = ∠CDA。
又易知$\frac{EF}{AB}$ = $\frac{FG}{BC}$ = $\frac{GH}{CD}$ = $\frac{EH}{AD}$ = $\frac{1}{2}$，
∴▱EFGH ∽ ▱ABCD。
又
∵各组对应点的连线相交于点O，
∴▱ABCD与四边形EFGH是位似图形。

9. 如图,$ △ABE $ 和 $ △CDE $ 是以点 E 为位似中心的位似图形,已知点 $ A(3,4) $,$ C(2,2) $,$ D(3,1) $,则点 D 的对应点 B 的坐标为______.

答案：
(5, 2) 【解析】如答图，分别过点C，A，B作x轴的垂线，垂足分别为F，H，K。

∵A，D两点的横坐标相同，
∴点D在AH上。
∵点E(1, 0)，C(2, 2)，A(3, 4)，D(3, 1)，
∴EF = 1，FH = 1。
∵CF // AH // BK，
∴$\frac{EC}{EA}$ = $\frac{EF}{EH}$ = $\frac{1}{2}$。
∵△CDE ∽ △ABE，
∴$\frac{CE}{AE}$ = $\frac{DE}{BE}$ = $\frac{1}{2}$。
∵DH // BK，
∴△EHD ∽ △EKB，
∴$\frac{EH}{EK}$ = $\frac{DH}{BK}$ = $\frac{ED}{BE}$ = $\frac{1}{2}$。
∵EH = 2，DH = 1，
∴EK = 4，BK = 2，
∴OK = 5，
∴点B的坐标为(5, 2)。