《2025年全效学习阶段发展评价九年级数学全一册浙教版》

9. [教材 P4 合作学习(3)改编]如图,有一张长 $ 50\ cm $、宽 $ 30\ cm $ 的矩形纸板,截去角上四个相同的小正方形后,折成一个无盖纸盒. 设纸盒的底面积为 $ y(cm^{2}) $,高为 $ x(cm) $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为$y=4x^{2}-160x+1500$.

答案： $y=4x^{2}-160x+1500$【解析】由题意,得$y=(50-2x)\cdot (30-2x)=4x^{2}-160x+1500.$

10. 某班共有 $ x $ 名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手 $ y $ 次,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为$y=\frac {1}{2}x^{2}-\frac {1}{2}x$,由表达式可知,$ y $是(填“是”或“不是”)$ x $ 的二次函数.

答案： $y=\frac {1}{2}x^{2}-\frac {1}{2}x$ 是

11. 已知函数 $ y = (m^{2} + m)x^{2} + (m + 1)x + 2 $.
(1)若这个函数是一次函数,求 $ m $ 的值.
(2)若这个函数是二次函数,则 $ m $ 应满足什么条件？

答案： 解:
(1)由题意,得$\left\{\begin{array}{l} m^{2}+m=0,\\ m+1≠0,\end{array}\right. $
∴$m=0.$
(2)由题意,得$m^{2}+m≠0$,
∴$m≠0$且$m≠-1.$

12. 某广告公司设计一幅周长为 $ 16\ m $ 的矩形广告牌,广告牌设计费为每平方米 $ 2000 $ 元,设该矩形广告牌的一边长为 $ x(m) $,面积为 $ S(m^{2}) $.
(1)求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2)设计费能达到 $ 24000 $ 元吗？为什么？
(3)若 $ x $ 取整数,则当 $ x $ 是多少时,设计费最多？最多是多少元？

答案： 解:
(1)
∵矩形的一边长为$x(m)$,周长为16 m,
∴另一边长为$(8-x)m$,
∴$S=x(8-x)=-x^{2}+8x$,其中$0＜x＜8.$
(2)能.理由如下:
∵设计费为每平方米2000元,
∴当设计费为24000元时,面积为$24000÷2000=12(m^{2})$,即$-x^{2}+8x=12$,解得$x_{1}=2,x_{2}=6$,
∴设计费能达到24000元.
(3)列表如下:|x|1|2|3|4|5|6|7|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|S|7|12|15|16|15|12|7|
由表可知,当$x=4$时,$S_{最大}=16,16×2000=32000.$答:当$x=4$时,设计费最多,最多是32000元.

13. [教材 P7 作业题 T6 改编]把 $ 4\ m $ 长的钢筋焊成一个如图所示的框架,使其下半部分为矩形,上半部分为半圆形.
(1)请你写出钢筋所焊成框架的面积 $ y(m^{2}) $ 与半圆的半径 $ x(m) $ 之间的函数表达式.
(2)当 $ x = \frac{1}{2} $ 时,求钢筋所焊成框架的面积.

答案： 解:
(1)
∵半圆的面积为$\frac {1}{2}πx^{2}(m^{2})$,矩形的面积为$\frac {1}{2}(4-2x-πx)\cdot 2x=[4x-(2+π)x^{2}]m^{2}$,
∴$y=\frac {1}{2}πx^{2}+4x-(2+π)x^{2}$,即$y=-(\frac {1}{2}π+2)x^{2}+4x.$
(2)当$x=\frac {1}{2}$时,$y=-(\frac {1}{2}π+2)×(\frac {1}{2})^{2}+4×\frac {1}{2}=\frac {3}{2}-\frac {π}{8}.$答:钢筋所焊成框架的面积为$(\frac {3}{2}-\frac {π}{8})m^{2}.$