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8. [教材P107作业题T6改编]如图,扇形$AOB$的圆心角为直角,正方形$OCDE的顶点C$,$E$,$D分别在OA$,$OB$,$\overset{\frown}{AB}$上,过点$A作AF⊥ED$,交$ED的延长线于点F$. 已知图中阴影部分的面积为$\sqrt{2} - 1$,则正方形$OCDE$的边长为(
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.3
A
)A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.3
答案：
A
9. [教材P106课内练习T3改编]如图,阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所围成的两个新月形,且面积为4. 若$AC + BC = 6$,求$AB$的长.
答案：
解:由题意，得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，$\frac{1}{2}×π×(\frac{AC}{2})^{2}+\frac{1}{2}×π×(\frac{BC}{2})^{2}+\frac{1}{2}AC\cdot BC-\frac{1}{2}×π×(\frac{AB}{2})^{2}=4$，
∴$AC\cdot BC = 8$。
又
∵$AC + BC = 6$，
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(AC + BC)^{2}-2AC\cdot BC}=2\sqrt{5}$。
∴$AC\cdot BC = 8$。
又
∵$AC + BC = 6$，
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(AC + BC)^{2}-2AC\cdot BC}=2\sqrt{5}$。
10. 如图,$AB是半圆O$的直径,点$C$在半圆上,点$D在AB$上,且$AC = AD$,$OC = 2$,$\angle A = 30°$.
(1)求线段$OD$的长.
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号和$\pi$).
(1)求线段$OD$的长.
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号和$\pi$).
答案：
解:
(1)如答图，过点$C$作$CE⊥AD$于点$E$。
∵$∠A = 30^{\circ}$，
∴$∠COD = 60^{\circ}$，
∴$∠OCE = 30^{\circ}$，
∴$OE=\frac{1}{2}OC = 1$，
∴$CE=\sqrt{3}$，
∴$AC = 2\sqrt{3}$，
∴$AD = AC = 2\sqrt{3}$。
又
∵$OA = OC = 2$，
∴$OD = AD - OA = 2\sqrt{3}-2$。
(2)$S_{阴影}=S_{扇形DOC}-S_{\triangle OCD}=\frac{60×π×2^{2}}{360}-\frac{1}{2}×(2\sqrt{3}-2)×\sqrt{3}=\frac{2π}{3}-3+\sqrt{3}$。
解:
(1)如答图，过点$C$作$CE⊥AD$于点$E$。
∵$∠A = 30^{\circ}$，
∴$∠COD = 60^{\circ}$，
∴$∠OCE = 30^{\circ}$，
∴$OE=\frac{1}{2}OC = 1$，
∴$CE=\sqrt{3}$，
∴$AC = 2\sqrt{3}$，
∴$AD = AC = 2\sqrt{3}$。
又
∵$OA = OC = 2$，
∴$OD = AD - OA = 2\sqrt{3}-2$。
(2)$S_{阴影}=S_{扇形DOC}-S_{\triangle OCD}=\frac{60×π×2^{2}}{360}-\frac{1}{2}×(2\sqrt{3}-2)×\sqrt{3}=\frac{2π}{3}-3+\sqrt{3}$。
11. “莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形. 如图,以边长为2 cm的等边三角形$ABC$的三个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段圆弧围成的图形(阴影部分)就是“莱洛三角形”,该“莱洛三角形”的面积为
$2π - 2\sqrt{3}$
cm^2(结果保留$\pi$).
答案：
$2π - 2\sqrt{3}$
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