《2025年全效学习阶段发展评价九年级数学全一册浙教版》

7. [教材P142作业题T4改编]如图,$\triangle ABC的两条中线AD和BE相交于点G$,过点$E作EF// BC交AD于点F$.若$FG = 1$,则$AD= $6.

答案： 6【解析】
∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，
∴AE=CE，G是△ABC的重心，
∴BG=2EG.
∵EF//BC，
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{CE}=1$，$\frac{FG}{DG}=\frac{EG}{BG}=\frac{1}{2}$.
又
∵FG=1，
∴DG=2，
∴DF=3，
∴AD=6.

8. [教材P142作业题T5改编]如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是AC$,$AB$上的点,$\angle ADE= \angle B$.$\triangle ABC的角平分线AF交DE于点G$,交$BC于点F$.
(1)求证：$\triangle ADG\sim\triangle ABF$.
(2)若$\frac{AD}{AB}= \frac{2}{3}$,$AF = 6$,求$GF$的长.

答案：
(1)证明：
∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠DAG=∠BAF.
又
∵∠ADE=∠B，
∴△ADG∽△ABF.
(2)解：
∵△ADG∽△ABF，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}$.
又
∵AF=6，
∴AG=4，
∴GF=AF - AG=2.

9. 如图,$CD是Rt\triangle ABC$斜边上的高线,$E是AC$的中点,连结$ED$并延长,交$CB的延长线于点F$.求证：$DB\cdot CF = CD\cdot DF$.

答案： 证明：
∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，
∴$DE=CE=AE=\frac{1}{2}AC$，
∴∠EDA=∠A.
又
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠A=∠FDB.
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴易得∠A = ∠FCD，
∴∠FDB = ∠FCD.
又
∵∠F=∠F，
∴△FDB∽△FCD，
∴DB∶CD=DF∶CF，
∴DB·CF=CD·DF.

10. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,则我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知$\triangle ABC$是比例三角形,$AB = 2$,$BC = 3$,请直接写出所有满足条件的$AC$的长.
(2)如图①,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,对角线$BD平分\angle ABC$,$\angle BAC= \angle ADC$.求证：$\triangle ABC$是比例三角形.
(3)如图②,在(2)的条件下,当$\angle ADC = 90^{\circ}$时,求$\frac{BD}{AC}$的值.
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答案：

(1)解：$AC=\frac{4}{3}$或$\frac{9}{2}$或$\sqrt{6}$.
(2)证明：
∵AD//BC，
∴∠ACB = ∠DAC.
又
∵∠BAC=∠CDA，
∴△ABC∽△DCA，
∴$\frac{BC}{CA}=\frac{CA}{AD}$，即$CA^2=BC·AD$.
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB = AD，
∴$CA^2=BC·AB$，
∴△ABC是比例三角形.
(3)解：如答图，过点A作AH⊥BD于点H.

∵AB=AD，
∴$BH=\frac{1}{2}BD$.
∵AD//BC，∠ADC=90°，
∴∠BCD=90°.
∵AH⊥BD，
∴∠BHA=90°=∠BCD.
又
∵∠ABH=∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴$\frac{AB}{DB}=\frac{BH}{BC}$，
∴AB·BC=DB·BH，
∴$AB·BC=\frac{1}{2}BD^2$.
又
∵AB·BC=AC²，
∴$\frac{1}{2}BD^2=AC^2$，
∴$\frac{BD}{AC}=\sqrt{2}$.