《2025年全效学习阶段发展评价九年级数学全一册浙教版》

8. 已知二次函数$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{3}{2}$.
(1) 该二次函数的图象与$x$轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0).当$y\lt0$时,$x$的取值范围是x＜-1或x＞3.
(2) 当$x$≥1时,$y随x$的增大而减小.
(3) 该函数有最大值,为2.

答案：
(1)(-1,0)和(3,0) x＜-1或x＞3
(2)x≥1
(3)大 2

9. [教材 P23 作业题 T5 改编]根据下列条件,求二次函数的表达式.
(1) 已知图象的顶点坐标为$(-1,-2)$,且过点$(1,10)$.
(2) 已知图象经过点$(0,-2)$,$(1,0)$,$(2,3)$.

答案： 解:
(1)
∵图象的顶点坐标为(-1,-2)，
∴可设二次函数的表达式为y=a(x+1)²-2.
把点(1,10)的坐标代入，得10=a(1+1)²-2，
∴a=3，
∴二次函数的表达式为y=3(x+1)²-2，即y=3x²+6x+1.
(2)设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，
把点(0,-2),(1,0),(2,3)的坐标分别代入，
得{c=-2,a+b+c=0,4a+2b+c=3,解得{a=1/2,b=3/2,c=-2,
∴二次函数的表达式为y=1/2x²+3/2x-2.

10. [教材 P21 例题改编]已知函数$y = -\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$.
(1) 求函数图象的顶点坐标、对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标.
(2) 自变量$x$在什么范围内时,$y随x$的增大而增大? 何时$y随x$的增大而减小?
(3) 自变量$x$在什么范围内时,$y\gt0$?

答案： 解:
(1)
∵a=-2/3,b=4/3,c=2，
∴-b/(2a)=1,(4ac-b²)/(4a)=8/3，
∴函数图象的顶点坐标为(1,8/3)，对称轴是直线x=1.
当y=0时，-2/3x²+4/3x+2=0，
解得x₁=-1,x₂=3，
∴与x轴的交点坐标为(-1,0)，(3,0).
当x=0时，y=2，
∴与y轴的交点坐标为(0,2).
(2)当x≤1时，y随x的增大而增大；
当x≥1时，y随x的增大而减小.
(3)当-1＜x＜3时，y＞0.

11. 在篮球比赛中,东东投出的球在点$A$处反弹,反弹后球运动的路线为抛物线的一部分(如图所示建立平面直角坐标系),抛物线的顶点为点$B$.
(1) 求该抛物线的函数表达式.
(2) 当球运动到点$C$时被东东抢到,$CD\perp x轴于点D$,$CD = 2.6m$.求$OD$的长.

答案： 解:
(1)设y=a(x-0.4)²+3.32(a≠0).
把x=0,y=3代入，解得a=-2，
∴抛物线的函数表达式为y=-2(x-0.4)²+3.32.
(2)把y=2.6代入y=-2(x-0.4)²+3.32.
化简，得(x-0.4)²=0.36，
解得x₁=-0.2(不合题意，舍去)，x₂=1，
∴OD=1m.