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1. [教材P26例3改编]某商场经营一种小商品,已知进货单价是20元.经调查发现,当销售单价是30元时,月销售量为240件；销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件商品的售价不能高于40元且必须为整数元.当月销售利润最大时,销售单价为(
A.35元
B.36元
C.37元
D.36或37元
37
)A.35元
B.36元
C.37元
D.36或37元
答案：
C [解析]设销售单价上涨x元，月销售利润为y元.
∵每件商品的售价不能高于40元,
∴0≤x≤10.
由题意,得y=(30+x−20)(240 −10x)
=(10+x)(240−10x)
=−10x²+140x+2400
=−10(x−7)²+2890,
∴当x=7时,y最大=2890,
此时每件商品售价为30+7 =37(元).
∵每件商品的售价不能高于40元,
∴0≤x≤10.
由题意,得y=(30+x−20)(240 −10x)
=(10+x)(240−10x)
=−10x²+140x+2400
=−10(x−7)²+2890,
∴当x=7时,y最大=2890,
此时每件商品售价为30+7 =37(元).
2. [教材P28作业题T3改编]已知$ y = 2m - 1 $,$ x = m - 2 $,$ s = xy $,则$ s $有最
小
值,为−$\frac{9}{8}$
.
答案：
小 −$\frac{9}{8}$ [解析]s=xy=(m−2)·(2m−1)=2m²−5m+2=2$\left(m-\frac{5}{4}\right)^2$-$\frac{9}{8}$,
∴当m=$\frac{5}{4}$时,s有最小值，为−$\frac{9}{8}$.
∴当m=$\frac{5}{4}$时,s有最小值，为−$\frac{9}{8}$.
3. [教材P28作业题T4改编]某台风中心在$ A $城正南方向100km处,以20km/h的速度向$ A $城移动,此时一辆汽车从$ A $城以60km/h的速度向正西方向行驶,则经过____h,这辆汽车与台风中心的距离最近,最近距离为____km.
答案：
$\frac{1}{2}$ 30$\sqrt{10}$ [解析]设经过x(h),台风中心到达B处,汽车行驶到C处,如答图,
则AB=(100−20x)km,AC =60x(km).
由勾股定理,得BC²=AB²+AC²=(100−20x)²+(60x)²
=400x²−4000x+10000+3600x²
=4000x²−4000x+10000
=4000$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$+9000,
∴当x=$\frac{1}{2}$时，BC²有最小值,即BC有最小值,此时BC=$\sqrt{9000}$=30$\sqrt{10}$km.
$\frac{1}{2}$ 30$\sqrt{10}$ [解析]设经过x(h),台风中心到达B处,汽车行驶到C处,如答图,
则AB=(100−20x)km,AC =60x(km).
由勾股定理,得BC²=AB²+AC²=(100−20x)²+(60x)²
=400x²−4000x+10000+3600x²
=4000x²−4000x+10000
=4000$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2$+9000,
∴当x=$\frac{1}{2}$时，BC²有最小值,即BC有最小值,此时BC=$\sqrt{9000}$=30$\sqrt{10}$km.
4. [教材P27作业题T1改编]一个斜抛物体的水平运动距离为$ x(m) $,对应的高度记为$ h(m) $,且满足$ h = ax^{2} + bx - 2a(a \neq 0) $.已知当$ x = 0 $时,$ h = 2 $；当$ x = 10 $时,$ h = 2 $.斜抛物体的最大高度为
27
m,达到最大高度时的水平运动距离为5
m.
答案：
5 27 [解析]
∵当x=0时,h=2;当x=10时,h=2,
∴$\begin{cases} 2=-2a, \\ 2=100a+10b-2a, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=10, \end{cases}$
∴h关于x的函数表达式为h=-x²+10x+2.
∵h=-x²+10x+2=-$\left(x-5\right)^2$+27,
∴斜抛物体的最大高度为27m,达到最大高度时的水平运动距离为5m.
∵当x=0时,h=2;当x=10时,h=2,
∴$\begin{cases} 2=-2a, \\ 2=100a+10b-2a, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=10, \end{cases}$
∴h关于x的函数表达式为h=-x²+10x+2.
∵h=-x²+10x+2=-$\left(x-5\right)^2$+27,
∴斜抛物体的最大高度为27m,达到最大高度时的水平运动距离为5m.
5. [教材P28作业题T2改编]汽车刹车后,还会继续向前滑行一段距离,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能,对这种汽车进行测试,测得数据如表：
(1)以车速为$ x $轴,刹车距离为$ y $轴,在平面直角坐标系中描出这些数据所表示的点,并用平滑的曲线连接这些点,画出函数的大致图象.
(2)观察图象,估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数表达式.
(3)该型号汽车在限速120km/h的高速公路上发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为23.1m,请推测刹车时的速度是多少？请问在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶？
(1)以车速为$ x $轴,刹车距离为$ y $轴,在平面直角坐标系中描出这些数据所表示的点,并用平滑的曲线连接这些点,画出函数的大致图象.
(2)观察图象,估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数表达式.
(3)该型号汽车在限速120km/h的高速公路上发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为23.1m,请推测刹车时的速度是多少？请问在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶？
答案：
解:
(1)画出函数图象如答图所示.
(2)估计该函数的类型为抛物线.设抛物线的函数表达式为y=ax²+bx+c.
由题意，
$\begin{cases} 0=c, \\ 1.1=100a+10b+c, \\ 2.4=400a+20b+c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=0.001, \\ b=0.1, \\ c=0, \end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为y=0.001x²+0.1x.
(3)当y=23.1时,23.1=0.001x² +0.1x,
解得x₁=-210(不合题意，舍去),x₂=110,
∴推测刹车时的速度是110 km/h.
∵110＜120,
∴事故发生时,汽车是正常行驶.
解:
(1)画出函数图象如答图所示.
(2)估计该函数的类型为抛物线.设抛物线的函数表达式为y=ax²+bx+c.
由题意，
$\begin{cases} 0=c, \\ 1.1=100a+10b+c, \\ 2.4=400a+20b+c, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=0.001, \\ b=0.1, \\ c=0, \end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为y=0.001x²+0.1x.
(3)当y=23.1时,23.1=0.001x² +0.1x,
解得x₁=-210(不合题意，舍去),x₂=110,
∴推测刹车时的速度是110 km/h.
∵110＜120,
∴事故发生时,汽车是正常行驶.
6. [教材P26例3改编]某景区商店销售一种纪念品,进货单价为40元.经市场调研,当该纪念品的销售单价为50元时,每天可销售200件；销售单价每增加1元,每天的销售量将减少10件.
(1)当销售单价为52元时,该纪念品每天的销售量为
(2)当销售单价为多少元时,销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润.
(1)当销售单价为52元时,该纪念品每天的销售量为
180
件.(2)当销售单价为多少元时,销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润.
答案：
(1)180
解:
(2)设销售单价为x元，每天获得的利润为y元，由题意，得
y=(x−40)[200−10(x−50)]=−10(x−55)²+2250,
∴当x=55时,y取得最大值，最大值为2250.
答:当销售单价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为2250元.
(1)180
解:
(2)设销售单价为x元，每天获得的利润为y元，由题意，得
y=(x−40)[200−10(x−50)]=−10(x−55)²+2250,
∴当x=55时,y取得最大值，最大值为2250.
答:当销售单价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为2250元.
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