《2025年全效学习阶段发展评价九年级数学全一册浙教版》

7. 设 $ \alpha $ 为锐角,若 $ \tan \alpha = 2a - 5 $,则 $ a $ 的取值范围是(B)
A.$ a ＜ 3 $
B.$ \frac{5}{2} ＜ a ＜ 3 $
C.$ a ＞ \frac{5}{2} $
D.$ a ＞ 3 $

答案： B　【解析】易知tanα＞0，
∴2a−5＞0，解得a＞$\frac{5}{2}$.

8. 如图,已知“人字梯”的 $ 5 $ 个踩档把梯子等分成 $ 6 $ 份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 $ 60cm $ 的绑绳 $ EF $,当绑绳 $ EF $ 成一条直线时,梯子一侧与地面的夹角为 $ 68^{\circ} $,则此时“人字梯”的顶端离地面的高度 $ AD $ 为178 $ cm $ (精确到个位).
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答案： 178

9. 一种可折叠的器械放置在水平地面上,这种器械的侧面结构如图所示, $ \triangle ABC $ 为底座,点 $ B $, $ C $, $ D $ 在同一条直线上,已知 $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ \angle ABC = 55^{\circ} $, $ AB = 30cm $, $ \angle BDE = 70^{\circ} $,其中一段支撑杆 $ CD = 80cm $,另一段支撑杆 $ DE = 70cm $. 求支撑杆上的点 $ E $ 到水平地面的距离 $ EF $ (精确到 $ 1cm $ ).
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答案：
解:如答图,过点D作DG⊥EF于点G,过点B作BH⊥DG于点H.　　　 在Rt△ABC中,∠ABC=55°,AB =30cm，
∴BC=AB·cos∠ABC≈17.21cm，
∴BD=BC+CD=97.21cm.　在Rt△BDH中,易知∠BDH=∠ABC=55°，
∴BH=BD·sin∠BDH ≈79.63cm.
∵∠BDE=70°，
∴∠EDG=∠BDE−∠BDH=15°.　在Rt△DEG中,DE=70cm，
∴EG=DE·sin∠EDG≈18.12cm.　易知FG=BH，
∴EF=FG+EG ≈98cm.　答:支撑杆上的点E到水平地面的距离EF约为98cm.

10. 小明在利用计算器探究锐角的三角函数值时,得到如下结果：
$ \sin ^{2}7^{\circ}+\sin ^{2}83^{\circ}=1 $,
$ \sin ^{2}22^{\circ}+\sin ^{2}68^{\circ}=1 $,
$ \sin ^{2}29^{\circ}+\sin ^{2}61^{\circ}=1 $,
$ \sin ^{2}37^{\circ}+\sin ^{2}53^{\circ}=1 $,
$ \sin ^{2}45^{\circ}+\sin ^{2}45^{\circ}=1 $.
据此,小明猜想：对于任意锐角 $ \alpha $,均有 $ \sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}(90^{\circ}-\alpha)= 1 $.
(1) 当 $ \alpha = 30^{\circ} $ 时,验证 $ \sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}(90^{\circ}-\alpha)= 1 $ 是否成立.
(2) 小明的猜想是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,请举出一个反例.

答案：
解:
(1)当α=30°时，sin²α+sin²(90°−α)=sin²30°+sin²60°=$(\frac{1}{2})²+(\frac{\sqrt{3}}{2})²=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$.　　
(2)小明的猜想成立.证明如下:如答图,在Rt△ABC中,∠C =90°.　　　 设∠A=α，则∠B=90°−α，
∴sin²α+sin²(90°−α)=sin²A+sin²B=$(\frac{BC}{AB})²+(\frac{AC}{AB})²=\frac{BC²+AC²}{AB²}=\frac{AB²}{AB²}=1.$