《2025年全效学习阶段发展评价九年级数学全一册浙教版》

1. 已知 $ x $ 是 $ a,b $ 的比例中项,则下列说法中,错误的是(D)
A.$ x^{2}= ab $
B.$ \frac{a}{x}= \frac{x}{b} $
C.$ \frac{b}{x}= \frac{x}{a} $
D.$ ab= \sqrt{x} $

答案： D

2. 已知 $ a:b = 12:8 $,且 $ b $ 是 $ a $ 和 $ c $ 的比例中项,则 $ b:c $ 等于(B)
A.$ 4:3 $
B.$ 3:2 $
C.$ 2:3 $
D.$ 3:4 $

答案： B　[解析]
∵a:b=12:8,b是a 和c的比例中项,即a:b=b:c,
∴b:c=12:8=3:2.

3. 如图,已知 $ C $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点 $ (AC＞BC) $,则下列说法中,正确的是(C)

A.$ AB^{2}= AC^{2}+BC^{2} $
B.$ BC^{2}= AC\cdot AB $
C.$ \frac{BC}{AC}= \frac{\sqrt{5}-1}{2} $
D.$ \frac{AC}{BC}= \frac{\sqrt{5}-1}{2} $

答案： C

4. 已知线段 $ AB = 2\mathrm{cm} $,$ C $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点 $ (AC＞BC) $,则 $ AC $ 的长为($(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$)
A.$ (\sqrt{5}-2)\mathrm{cm} $
B.$ (3-\sqrt{5})\mathrm{cm} $
C.$ (\sqrt{5}-1)\mathrm{cm} $
D.$ (2-\sqrt{5})\mathrm{cm} $

答案： C　[解析]
∵C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC),
∴AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB.又
∵AB=2cm,
∴AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×2=($\sqrt{5}$−1)cm.

5. 已知线段 $ c $ 是线段 $ a,b $ 的比例中项线段,且 $ a = 4\mathrm{cm} $,$ b = 25\mathrm{cm} $,则 $ c = $10$\mathrm{cm}$.

答案： 10

6. (1)已知 $ a = 2 $,$ c = 4 $,$ b $ 是 $ a,c $ 的比例中项,求 $ b $ 的值.
(2)已知 $ AB = 4\mathrm{cm} $,$ CD = 5\mathrm{cm} $,线段 $ MN $ 是 $ AB,CD $ 的比例中项线段,求 $ MN $ 的长.
(3)比较(1)(2)两题,你有什么发现？

答案： 解:
(1)
∵b是a,c的比例中项，
∴a:b=b:c,
∴b²=ac,
∴b=±$\sqrt{ac}$又
∵a=2,c=4,
∴b=±2$\sqrt{2}$
(2)
∵线段MN是AB,CD的比例中项，
∴AB:MN=MN:CD,
∴MN²=AB·CD,
∴MN=$\sqrt{AB·CD}$又
∵AB=4cm,CD=5cm,
∴MN=2$\sqrt{5}$cm.
(3)比较
(1)
(2)发现:当比例中项为数时，可以取正负两个值;当比例中项为线段时，只能取一个正值.

7. 如图,在 $ \mathrm{Rt}\triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ AB = 2BC $,现以点 $ C $ 为圆心,$ CB $ 长为半径画弧,交 $ AC $ 于点 $ D $,再以点 $ A $ 为圆心,$ AD $ 长为半径画弧,交 $ AB $ 于点 $ E $. 求证：$ E $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点.

答案： 证明:设BC=a,则AB=2a,AC=$\sqrt{5}$a.由题意,得CD=BC=a,
∴AE=AD=$\sqrt{5}$a−a,
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}a−a}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴E是线段AB的黄金分割点.