《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

12. 已知：如图,PA,PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线,它们交于点 P,PD⊥BM 于点 D,PF⊥BN 于点 F。求证：BP 为∠MBN 的平分线。
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答案： 证明：
过点$P$作$PE \perp AC$于点$E$。
因为$PA$平分$\angle MAC$，$PD \perp BM$，$PE \perp AC$，根据角平分线的性质，可得$PD = PE$。
同理，因为$PC$平分$\angle NCA$，$PF \perp BN$，$PE \perp AC$，所以$PF = PE$。
由上述两步可知$PD = PF$。
又因为$PD \perp BM$，$PF \perp BN$，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，所以点$P$在$\angle MBN$的平分线上，即$BP$为$\angle MBN$的平分线。

13. 如图,在等腰直角三角形 DBC 中,∠BDC= 90°,BF 平分∠DBC,与 CD 相交于点 F,延长 BD 到点 A,使 DA= DF。
(1)求证：△FBD≌△ACD。
(2)延长 BF 交 AC 于点 E,试说明：CE= $\frac{1}{2}$BF。
(3)在第(2)题的条件下,若 H 是 BC 边的中点,连结 DH 与 BE 相交于点 G,试探索 CE,GE,BG 之间的数量关系,并说明理由。
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答案：
(1)证明：
∵△DBC是等腰直角三角形，∠BDC=90°，
∴DB=DC，∠BDC=90°。
∵A在BD延长线上，
∴∠ADC=180°-∠BDC=90°=∠BDF。
∵DA=DF，
在△FBD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} DB=DC \\ ∠BDF=∠ADC \\ DF=DA\end{array}\right.$，
∴△FBD≌△ACD（SAS）。
(2)由
(1)得△FBD≌△ACD，
∴BF=AC，∠FBD=∠ACD。
∵∠DBC=45°，BF平分∠DBC，
∴∠FBD=22.5°=∠ACD。
∵∠BDC=90°，
∴∠BFD=90°-22.5°=67.5°，由全等得∠CAD=∠BFD=67.5°。
在△ABE中，∠BAE=67.5°，∠ABE=22.5°，
∴∠AEB=180°-67.5°-22.5°=90°，即BE⊥AC。
∵AB=AD+DB=DF+DB，BC=√2DB（DB=DC），可证AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形，BE⊥AC，
∴E为AC中点（三线合一），
∴CE=1/2AC=1/2BF。
(3)BG²=CE²+GE²。理由：
∵H是BC中点，△DBC是等腰直角三角形，
∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG（垂直平分线性质）。
∵BE⊥AC，
∴∠CEG=90°，
在Rt△CEG中，由勾股定理得CG²=CE²+GE²，
∴BG²=CE²+GE²。