《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

14. 如图,在平面直角坐标系中,直线 l 是第一、三象限的角平分线。
(1)由图观察易知点 A(0,2)关于直线 l 的对称点 A'的坐标为(2,0),请在图中分别标明点 B(5,3),C(-2,-5)关于直线 l 对称的点 B',C'的位置,并写出它们的坐标:B'(3,5),C'(-5,-2)。
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,可发现:坐标平面内任意一点 P(a,b)关于第一、三象限的角平分线 l 对称的点 P'坐标为(b,a)。
(3)已知点 D(1,-3),E(-1,-4),试在直线 l 上画出点 Q,使△QDE 的周长最小,并求出△QDE 周长的最小值。
点D(1,-3)关于直线l的对称点D'(-3,1)，连接D'E交直线l于点Q，此时△QDE的周长最小，D'E=√[(-3 + 1)² + (1 + 4)²]=√29，DE=√[(1 + 1)² + (-3 + 4)²]=√5，△QDE周长的最小值为√29+√5。

答案： （1）$B^{\prime}(3,5)$，$C^{\prime}(-5,-2)$；
（2）$P^{\prime}(b,a)$；
（3）点$D(1,-3)$关于直线$l$的对称点$D^{\prime}(-3,1)$，
连接$D^{\prime}E$交直线$l$于点$Q$，此时$\triangle QDE$的周长最小，
$D^{\prime}E=\sqrt{(-3 + 1)^2 + (1 + 4)^2}=\sqrt{29}$ ，
$DE=\sqrt{(1 + 1)^2 + (-3 + 4)^2}=\sqrt{5}$ ，
$\triangle QDE$周长的最小值为$\sqrt{29}+\sqrt{5}$ 。

15. 平面直角坐标系中有一点 A(1,1),对点 A 进行如下操作:
第一步,作点 A 关于 x 轴的对称点$ A_1,$延长线段$ AA_1$到点$ A_2,$使得$ 2A_1A_2= AA_1;$第二步,作点$ A_2$关于 y 轴的对称点$ A_3,$延长线段$ A_2A_3$到点$ A_4,$使得$ 2A_3A_4= A_2A_3;$第三步,作点$ A_4$关于 x 轴的对称点$ A_5,$延长线段$ A_4A_5$到点$ A_6,$使得$ 2A_5A_6= A_4A_5;……$
(1)点$ A_2$的坐标为______(1,-2),点$ A_2₀_2_4$的坐标为______(4^{253},4^{253})。
(2)若点 Aₙ的坐标恰好为(4ᵐ,4ⁿ)(m,n 均为正整数),请写出 m 和 n 的关系式:______m=n。

答案：
(1)
第一步：点$ A(1,1) $关于$ x $轴的对称点$ A_1(1,-1) $。延长$ AA_1 $到$ A_2 $，$ AA_1 $长度为2，由$ 2A_1A_2=AA_1 $得$ A_1A_2=1 $，故$ A_2(1,-2) $。
观察规律：序号为$ 8k $的点坐标为$ (4^k,4^k) $。$ 2024=8×253 $，则$ A_{2024}(4^{253},4^{253}) $。
(2)
由规律知$ A_{8k}(4^k,4^k) $，若$ A_n(4^m,4^n) $，则$ m=n $。
(1) $ (1,-2) $；$ (4^{253},4^{253}) $
(2) $ m=n $