《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

12. 如图是用10根火柴棒搭成的一个三角形,你能否移动其中的3根,摆出一对全等的三角形?画出你的方案。移动其中4根能否摆出一对全等的三角形?请画图说明,并与同伴交流。

答案： （1）移动3根火柴棒的方案：
将原三角形顶部的3根火柴棒中的2根分别移到原三角形底边的左侧和右侧，形成两个各有5根火柴棒的小三角形。
这两个小三角形是全等的，每个小三角形都由5根火柴棒组成。
（2）移动4根火柴棒的方案：
将原三角形左侧的3根火柴棒中的2根移到原三角形底边右侧上方，形成两个各有6根火柴棒和4根火柴棒的小三角形。
将原三角形顶部的1根火柴棒移到原三角形底边右侧下方，补全较小的三角形。
这两个小三角形是全等的，一个由6根火柴棒组成，另一个由4根火柴棒组成。

13. 如图所示,△ABE≌△EDC,点E在BD上,AB⊥BD,B为垂足。
(1)AE和CE垂直吗?AE和EC相等吗?
(2)将图中的△ABE绕点E按顺时针方向旋转,分别画出满足下列条件的图形并说出此时△ABE与△EDC中相等的边和角。
①使AE与CE重合。②使AE与CE垂直。③使AE与EC在同一条直线上。

答案： （1）因为$\triangle ABE\cong\triangle EDC$，所以$AE=EC$，$\angle AEB=\angle ECD$，$\angle BAE=\angle DEC$。
因为$AB\perp BD$，所以$\angle ABE = 90^\circ$，$\angle BAE+\angle AEB = 90^\circ$。
所以$\angle DEC+\angle ECD = 90^\circ$，$\angle CED = 90^\circ$。
即$AE\perp CE$。
（2）①使$AE$与$CE$重合，$AB=DE$，$BE=CD$，$\angle B=\angle D$，$\angle BAE=\angle CED$，$\angle AEB=\angle ECD$。
②使$AE$与$CE$垂直，$AB=DE$，$BE=CD$，$\angle B=\angle D$，$\angle BAE=\angle CED$，$\angle AEB=\angle ECD$。
③使$AE$与$EC$在同一条直线上，$AB=DE$，$BE=CD$，$\angle B=\angle D$，$\angle BAE=\angle CED$，$\angle AEB=\angle ECD$。

14. 如图所示,已知在△ABC中,AB= AC= 10 cm,BC= 8 cm,D为AB的中点,点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动,设运动的时间为t(s)。
(1)求CP的长。
(2)若以C,P,Q为顶点的三角形和以B,D,P为顶点的三角形全等,且∠B和∠C是对应角,求a的值。

答案：
(1) 由题意，点$P$的速度为$3 cm/s$，运动时间为$t s$，所以$BP = 3t cm$。
因为$BC = 8 cm$，所以$CP = BC - BP = 8 - 3t cm$。
(2) 因为$AB = AC$，所以$\angle B = \angle C$。
分两种情况讨论：
当$BD = CP$时，
因为$D$为$AB$的中点，$AB = 10 cm$，所以$BD = \frac{1}{2}AB = 5 cm$。
则$5 = 8 - 3t$，解得$t = 1$。
因为$\triangle BDP \cong \triangle CPQ$，所以$BP = CQ$，即$3t = at$，$t \neq 0$，所以$a = 3$。
当$BP = CP$时，$3t = 8 - 3t$，解得$t=\frac{4}{3}$。
因为$\triangle BDP \cong \triangle CQP$，所以$BD = CQ$，即$5 = a× \frac{4}{3}$，解得$a = \frac{15}{4}$。
综上所述，$a$的值为$3$或$\frac{15}{4}$。