《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

11. 当n= 0,1,2,3,4,5时,代数式$n^2-n+11$的值是质数吗?对于所有的自然数n,$n^2-n+11$的值都是质数吗?

答案： 当 $n = 0$ 时，$n^{2} - n + 11 = 11$，是质数。
当 $n = 1$ 时，$n^{2} - n + 11 = 11$，是质数。
当 $n = 2$ 时，$n^{2} - n + 11 = 13$，是质数。
当 $n = 3$ 时，$n^{2} - n + 11 = 17$，是质数。
当 $n = 4$ 时，$n^{2} - n + 11 = 23$，是质数。
当 $n = 5$ 时，$n^{2} - n + 11 = 31$，是质数。
当 $n = 11$ 时，$n^{2} - n + 11 = 121$，不是质数，因为$121 = 11 × 11$。
所以，不能对于所有自然数$n$，$n^{2} - n + 11$的值都是质数。

12. 已知AB//CD,∠ABE与∠CDE的平分线交于点F。
(1)如图1所示,若∠E= 80°,求∠BFD的度数。140°
(2)如图2所示,∠ABM= $\frac{1}{3}$∠ABF,∠CDM= $\frac{1}{3}$∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。∠M=(360°-∠E)/6
(3)若∠ABM= $\frac{1}{n}$∠ABF,∠CDM= $\frac{1}{n}$∠CDF,设∠E= m°,则∠M= ______(用含n,m°的代数式表示)。(360°-m°)/(2n)

答案：
(1) 140°
(2) ∠M=(360°-∠E)/6。
证明：设∠ABE=2x，∠CDE=2y。
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF=∠FBE=x，∠CDF=∠FDE=y。
过E作EG//AB，
∵AB//CD，
∴EG//CD。
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠BEG=180°-2x，∠DEG=180°-2y。
∴∠E=∠BEG+∠DEG=360°-2(x+y)，
∴x+y=(360°-∠E)/2。
∵∠ABM=1/3∠ABF=x/3，∠CDM=1/3∠CDF=y/3。
过M作MN//AB，
∵AB//CD，
∴MN//CD。
∴∠ABM=∠BMN=x/3，∠CDM=∠DMN=y/3（两直线平行，内错角相等）。
∴∠M=∠BMN+∠DMN=(x+y)/3=(360°-∠E)/6。
(3) (360°-m°)/(2n)