《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

7. 如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 10,BC= 5,线段 PQ= AB,P,Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AO 上运动,当 AP= 5或10时,△ABC 和△PQA 全等。

答案： 5或10

8. 如图所示,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= BC,AD 平分∠CAB,交 BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E。若 AB= 6 cm,则△DBE 的周长为(A)

A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm

答案： A

9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 6 cm,AC= 8 cm,按图中所示方法将△BCD 沿 BD 折叠,使点 C 落在 AB 边的点 C'处,那么△ADC'的面积是6。

答案： 6

10. 如图,在△ABC 中,P,Q 分别是 BC,AC 上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是 R,S,PR= PS,AQ= PQ,给出下列结论：①AS= AR。②PQ//AR。③△BRP≌△CSP。其中正确的是______。(填序号)

答案： ①②

11. 数学兴趣小组的同学在完成一道数学题：
如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AD= BC。求证：BD= AC。
小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等,从而得到 BD= AC。”
小贾说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等,从而得到 BD= AC。”
小雨说：“我可以根据三角形的面积相等,来证明 BD= AC。”
你认为他们的办法可行吗？并试着证明。
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答案： 小丽、小贾的办法可行，小雨的办法不可行。证明如下：
小丽（AAS）：
∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D=∠C=90°（垂直定义）。
设AD与BC交于点O，在△AOD和△BOC中：
∠D=∠C（已证），
∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
AD=BC（已知），
∴△AOD≌△BOC（AAS）。
∴AO=BO，OD=OC（全等三角形对应边相等）。
∵BD=BO+OD，AC=AO+OC，
∴BD=AC（等量代换）。
小贾（HL）：
连接AB，在Rt△ADB和Rt△BCA中：
AB=BA（公共边，斜边），
AD=BC（已知，直角边），
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL）。
∴BD=AC（全等三角形对应边相等）。
小雨（面积法）：
仅“三角形面积相等”无法直接推出BD=AC，缺少面积相等的充分条件（如全等或同底等高），故不可行。
结论： 小丽、小贾的办法可行，小雨的办法不可行。