《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

12. 如果一个角α是另一个角β的 2 倍,那么称α是β的二倍角。例如：α= 70°,β= 35°,则α是β的二倍角。已知在 Rt△ABC 中,∠C= 90°。
(1)若∠A 是∠B 的二倍角,则∠A= 60°。
(2)若 Rt△ABC 的三个内角中,有一个角是另一个角的二倍角,则∠A= 30°或 45°或 60°。
(3)如图 1,作 Rt△ABC 的外角平分线 AE,过点 B 作 AE 的平行线 BF。
①求证：∠BAC 是∠CBF 的二倍角。
②如图 2,再作△ABC 的角平分线 BG,求证：∠C 是∠GBF 的二倍角。
(3)①因为$AE$平分$\angle CAD$，所以$\angle CAD = 2\angle CAE$。又因为$BF// AE$，所以$\angle CAE=\angle CBF$，$\angle CAD=\angle BAC$，所以$\angle BAC = 2\angle CBF$，即$\angle BAC$是$\angle CBF$的二倍角。②设$\angle ABC = 2x$，因为$BG$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABG=\angle GBC = x$。由①知$\angle BAC = 2\angle CBF$，且$\angle BAC + \angle ABC=90^{\circ}$，则$2\angle CBF+2x = 90^{\circ}$，$\angle CBF + x = 45^{\circ}$。又因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle GBF=\angle CBF + \angle GBC=\angle CBF + x$，所以$\angle C = 2\angle GBF$，即$\angle C$是$\angle GBF$的二倍角。

答案：
(1)
因为在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B=90^{\circ}$。
又因为$\angle A = 2\angle B$，则$2\angle B+\angle B = 90^{\circ}$，$3\angle B=90^{\circ}$，解得$\angle B = 30^{\circ}$，所以$\angle A = 60^{\circ}$。
(2)
情况一：当$\angle A = 2\angle B$时，由$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，得$2\angle B+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$。
情况二：当$\angle B = 2\angle A$时，由$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，得$\angle A + 2\angle A=90^{\circ}$，$3\angle A=90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$。
情况三：当$\angle A = 2\angle C$时，因为$\angle C = 90^{\circ}$，不成立。
情况四：当$\angle C = 2\angle A$时，$\angle A = 45^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$。
情况五：当$\angle B = 2\angle C$时，因为$\angle C = 90^{\circ}$，不成立。
情况六：当$\angle C = 2\angle B$时，$\angle B = 30^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$。
综上，$\angle A$的度数为$30^{\circ}$或$60^{\circ}$或$45^{\circ}$。
(3)
①
因为$AE$平分$\angle CAD$，所以$\angle CAD = 2\angle CAE$。
又因为$BF// AE$，所以$\angle CAE=\angle CBF$，$\angle CAD=\angle BAC$，所以$\angle BAC = 2\angle CBF$，即$\angle BAC$是$\angle CBF$的二倍角。
②
设$\angle ABC = 2x$，因为$BG$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABG=\angle GBC = x$。
由①知$\angle BAC = 2\angle CBF$，且$\angle BAC + \angle ABC=90^{\circ}$，则$2\angle CBF+2x = 90^{\circ}$，$\angle CBF + x = 45^{\circ}$。
又因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle GBF=\angle CBF + \angle GBC=\angle CBF + x$，所以$\angle C = 2\angle GBF$，即$\angle C$是$\angle GBF$的二倍角。

13. 在等腰△ABC 中,AD⊥BC 交直线 BC 于点 D,若 AD= $\frac{1}{2}$BC,则△ABC 的顶角的度数为30°或90°或150°。

答案： 30°或90°或150°

14. 如图,在△ABC 中,AD 是边 BC 上的高,CF 是边 AB 上的中线,且 DC= BF,DE⊥CF 于点 E。
(1)E 是 CF 的中点吗？试说明理由。
(2)试说明：∠B= 2∠BCF。

答案：
(1) E是CF的中点。理由如下：
连接DF。
∵AD是BC边上的高，
∴△ABD是直角三角形。
∵F是AB中点，
∴DF=1/2AB=BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）。
∵DC=BF，
∴DC=DF。
∵DE⊥CF，
∴DE是等腰△DCF底边CF上的高，
∴CE=EF（等腰三角形三线合一），即E是CF的中点。
(2) 设∠BCF=α。
∵DC=DF，
∴∠DFC=∠BCF=α（等边对等角）。
在△DCF中，∠CDF=180°-∠DCF-∠DFC=180°-2α。
∵∠CDF+∠FDB=180°（平角定义），
∴∠FDB=180°-(180°-2α)=2α。
∵DF=BF，
∴∠B=∠FDB=2α（等边对等角），即∠B=2∠BCF。