《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

13. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC。若AC= BC,∠B:∠C= 2:1,试写出图中的所有等腰三角形,并给予证明。
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答案： 本题可先根据已知条件求出$\triangle ABC$各角的度数，再结合角平分线的性质求出其他角的度数，最后根据等腰三角形的判定定理找出图中的等腰三角形。
步骤一：求出$\triangle ABC$各角的度数
设$\angle C = x$，因为$\angle B:\angle C = 2:1$，所以$\angle B = 2x$。
由于$AC = BC$，根据等腰三角形两底角相等的性质可知$\angle B=\angle BAC = 2x$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle B + \angle BAC + \angle C = 180^{\circ}$，即$2x + 2x + x = 180^{\circ}$，
$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle B = \angle BAC = 2×36^{\circ} = 72^{\circ}$，$\angle C = 36^{\circ}$。
步骤二：求出$\angle BAD$、$\angle CAD$、$\angle ADC$、$\angle ADB$的度数
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2}×72^{\circ} = 36^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle C = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 36^{\circ} = 108^{\circ}$，则$\angle ADB = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$。
步骤三：找出图中的等腰三角形并证明
$\triangle ABC$：
因为$AC = BC$，根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，所以$\triangle ABC$是等腰三角形。
$\triangle ABD$：
因为$\angle B = \angle ADB = 72^{\circ}$，根据等角对等边，所以$AB = AD$，因此$\triangle ABD$是等腰三角形。
$\triangle ADC$：
因为$\angle CAD = \angle C = 36^{\circ}$，根据等角对等边，所以$AD = CD$，因此$\triangle ADC$是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ADC$。

14. 如图,在等腰三角形ABC中,AB= AC。在下列这些图形中,哪些能被一条直线分成两个小等腰三角形？能被一条直线分成两个小等腰三角形的请作出这条直线,并标出每个小等腰三角形顶角度数。
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答案：
(1) 能；作∠B的平分线交AC于D，三角形ABD顶角36°，三角形BCD顶角72°。
(2) 不能。
(3) 能；作斜边BC的中线AD，三角形ABD和三角形ACD顶角均为90°。
(4) 能；作AD使∠BAD=36°交BC于D，三角形ABD顶角108°，三角形ADC顶角36°。

15. 如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,BP⊥AD,垂足为P。AB= 5,BP= 2,AC= 9,试说明∠ABC= 3∠C。
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答案： 延长BP交AC于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAP=∠EAP。
∵BP⊥AD，
∴∠APB=∠APE=90°。
在△APB和△APE中，
∠BAP=∠EAP，AP=AP，∠APB=∠APE，
∴△APB≌△APE(ASA)。
∴AB=AE=5，BP=PE=2。
∵AC=9，
∴EC=AC-AE=9-5=4。
∵BE=BP+PE=2+2=4，
∴BE=EC。
∴∠EBC=∠C(等边对等角)。设∠C=∠EBC=x。
∵∠AEB=∠EBC+∠C=2x(三角形外角性质)，
又
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=2x(等边对等角)。
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=2x+x=3x。
∴∠ABC=3∠C。