《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

【例4】如图所示,一根长$2.5米的木棍AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON$上,此时$OB的距离为0.7$米,设木棍的中点为$P$。若木棍$A$端沿墙下滑,且$B$端沿地面向右滑行。

(1)如果木棍的顶端$A沿墙下滑0.4$米,那么木棍的底端$B$向外移动多长距离？
(2)请判断木棍滑动的过程中,点$P到点O$的距离是否变化,并简述理由。
(3)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,$\triangle AOB$的面积最大？简述理由,并求出面积的最大值。
【分析】(1)如图,在$Rt\triangle ABO$中,已知$AB$,$OB$,根据勾股定理即可求得$AO$的长度,根据$AO = AC + OC即可求得OC$的长度,在$Rt\triangle CDO$中,已知$AB = CD$,以及$CO的长度即可求得OD$的长度,根据$BD = OD-OB即可求得BD$的长度。

(2)木棍滑动的过程中,点$P到点O$的距离不会变化。根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半即可判断。
(3)当$\triangle AOB的斜边上的高h等于中线OP$时,$\triangle AOB$的面积最大,就可以求出。
解：(1)在$Rt\triangle ABO$中,已知$AB = 2.5\space m$,$BO = 0.7\space m$,
则$AO= \sqrt{2.5^2 - 0.7^2}= 2.4\space(m)$。
因为$AO = AC + OC$,
所以$OC = 2\space m$。
因为在$Rt\triangle CDO$中,$AB = CD$,且$CD$为斜边,
所以$OD= \sqrt{CD^2 - OC^2}= 1.5\space m$,
所以$BD = OD-OB= 1.5 - 0.7= 0.8\space(m)$。
(2)不变。理由如下：
在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,因为斜边$AB$不变,所以斜边上的中线$OP$不变。
(3)当$\triangle AOB的斜边上的高h等于中线OP$时面积最大。
如图,若$h与OP$不相等,则总有$h\lt OP$,
故根据三角形面积公式,当$h与OP相等时\triangle AOB$的面积最大,
此时,$S_{\triangle AOB}= \frac{1}{2}AB\cdot h= \frac{1}{2}×2.5×\frac{5}{4}= \frac{25}{16}(m^2)$。
故$\triangle AOB的最大面积为\frac{25}{16}\space m^2$。

答案：
(1)$0.8$米；
(2)不变；
(3)等腰直角三角形时面积最大，最大值为$\frac{25}{16}\,m^2$。