《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

【例1】三角形的两边长分别为3和5且周长为奇数,求这个三角形的周长。
【分析】要求三角形的周长,关键在于求得第三边的边长,因此根据三条线段能围成三角形的条件求得第三边的取值范围,从而可以求出第三边的长。
解：设第三边的长为x,根据三角形的三边关系,可知第三边的取值范围是5-3＜x＜5+3,即2＜x＜8。
又因为周长必须为奇数,所以第三边只能取3,5,7,那么周长可以是11,13,15。

答案： 设第三边的长为$x$。
根据三角形三边关系：$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。
已知两边长为$3$和$5$，周长为奇数，两边之和为$3 + 5 = 8$（偶数），则第三边$x$需为奇数（偶数 + 奇数 = 奇数）。
在$2 ＜ x ＜ 8$范围内的奇数有$3$，$5$，$7$。
当$x = 3$时，周长为$3 + 5 + 3 = 11$；
当$x = 5$时，周长为$3 + 5 + 5 = 13$；
当$x = 7$时，周长为$3 + 5 + 7 = 15$。
答：这个三角形的周长为$11$或$13$或$15$。

【例2】下列语句中哪些是命题？
①单位面积所受的压力叫作压强。
②如果a是实数,那么$a^2+1＞0。$
③两个无理数的乘积一定是无理数。
④偶数一定是合数吗？
⑤连结AB。
⑥不相等的两个角不可能是对顶角。
【分析】一般地,判断某一件事情的句子叫作命题。如果是以祈使句或疑问句的形式出现的句子肯定不是命题。特别要注意,如果是作出错误判断的句子,也是命题。
解：命题是①②③⑥。

答案： ①是命题，因为它是一个定义，判断了“单位面积所受的压力叫作压强”这一事情。
②是命题，因为它是一个可以判断真假的陈述句，对于所有实数$a$，$a^2+1＞0$总是成立的。
③是命题，因为它是一个可以判断真假的陈述句，但需要注意的是，这个命题是假的，例如$\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2$是一个有理数。
④不是命题，因为它是一个疑问句，不能作出判断。
⑤不是命题，因为它是一个祈使句，不能作出判断。
⑥是命题，因为它是一个可以判断真假的陈述句，不相等的两个角确实不可能是对顶角。
所以命题是①②③⑥。

【例3】如图,试说明∠A+∠ABC+∠C= ∠ADC。
【分析】四边形中的问题往往转化为三角形来解决。本题通过添加辅助线,利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和来说明。

解：如图,连结BD并延长至点E。
在△ABD中,∠ADE= ∠ABD+∠A,
在△BCD中,∠CDE= ∠CBD+∠C。
又因为∠ADC= ∠ADE+∠CDE,
所以∠ADC= ∠ABD+∠A+∠CBD+∠C= ∠A+∠ABC+∠C。

答案： 连结BD并延长至点E。
在△ABD中，∠ADE = ∠ABD + ∠A。
在△BCD中，∠CDE = ∠CBD + ∠C。
因为∠ADC = ∠ADE + ∠CDE，
所以∠ADC = ∠ABD + ∠A + ∠CBD + ∠C = ∠A + ∠ABC + ∠C。