《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

【例2】填空题。
(1)一次函数$y= (k+1)x+k-2$的图象经过第一、三、四象限,则k的取值范围是$-1＜k＜2$。
(2)如图,已知一次函数$y= ax+b(a≠0)和正比例函数y= kx(k≠0)$的图象交于点P,则根据图象可得二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} y= ax+b,\\ y= kx\end{array} \right. $的解是$\left\{\begin{array}{l} x= -4,\\ y= -2\end{array} \right. $。
(3)等腰三角形的周长是20,则底边长y与腰长x的函数关系式为$y= 20-2x$,其中自变量的取值范围是$5＜x＜10$。
(4)直线$l_{1}:y= k_{1}x+b(k_{1}≠0)与直线l_{2}:y= k_{2}x(k_{2}≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式$k_{1}x+b＞k_{2}x$的解集为$x＜-1$。

答案：
(1)$-1＜k＜2$
(2)$\left\{\begin{array}{l}x=-4,\\y=-2.\end{array}\right.$
(3)$y=20-2x$；$5＜x＜10$
(4)$x＜-1$

【例3】十一假期前,C,D两个菜市场分别急需蔬菜240吨和260吨。A,B两个蔬菜基地得知消息后,决定调运蔬菜过去。已知A蔬菜基地有蔬菜200吨,B蔬菜基地有蔬菜300吨,现将这些蔬菜全部调往C,D两个菜市场。从A蔬菜基地运往C,D两个菜市场的费用分别为每吨20元和25元,从B蔬菜基地运往C,D两个菜市场的费用分别为每吨15元和18元。设从B蔬菜基地运往C菜市场的蔬菜为x吨。
(1)设A,B两个蔬菜基地的总运费为w元,写出w与x之间的函数关系式,并求总运费最小的调运方案。
(2)经过抢修,从B蔬菜基地到C菜市场的路况得到进一步改善,缩短了运输时间,运费每吨减少m元$(m＞0)$,其余线路的运费不变,试讨论总运费最小的调运方案。
解:(1)由题意得$w= 20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)= 2x+9200$。
因为$\left\{\begin{array}{l} 240-x≥0,\\ x-40≥0,\\ x≥0,\\ 300-x≥0,\end{array} \right. 所以40≤x≤240$。
因为$k= 2＞0$,所以w的值随着x的增大而增大,所以当$x= 40$时,总运费最小。
此时总运费最小的调运方案为：
A蔬菜基地运往C菜市场200吨,运往D菜市场0吨；B蔬菜基地运往C菜市场40吨,运往D菜市场260吨。
(2)由题意知$w= 20(240-x)+25(x-40)+(15-m)x+18(300-x)= (2-m)x+9200$。
①当$2-m＞0$,即$m＜2$时,取$x= 40$时,调运方案总运费最小,方案为(1)中的方案。
②当$2-m= 0$,即$m= 2$时,在$40≤x≤240$的前提下调运方案总运费为9200元,不变。
③当$2-m＜0$,即$2＜m＜15$时,$x= 240$,总运费最小。其调运方案为：A蔬菜基地运往C菜市场0吨,运往D菜市场200吨；B蔬菜基地运往C菜市场240吨,运往D菜市场60吨。

答案：
(1)w=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)=2x+9200
∵{240-x≥0,x-40≥0,x≥0,300-x≥0}，
∴40≤x≤240
∵k=2＞0，
∴当x=40时，w最小
调运方案：A→C:200吨，A→D:0吨；B→C:40吨，B→D:260吨
(2)w=20(240-x)+25(x-40)+(15-m)x+18(300-x)=(2-m)x+9200
①当0＜m＜2时，2-m＞0，x=40，调运方案同
(1)
②当m=2时，2-m=0，40≤x≤240时，w=9200
③当2＜m＜15时，2-m＜0，x=240，调运方案：A→C:0吨，A→D:200吨；B→C:240吨，B→D:60吨