《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

14. 如图,在△ABC中,AB= BC= AC= 12 cm,点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边顺时针运动,点M的速度为4 cm/s,点N的速度为6 cm/s,当点M,N第一次相遇时间时停止运动。设点M,N的运动时间为t(t＞0)s,当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时,t的值为 $\frac{6}{5},\frac{12}{5},\frac{18}{5},\frac{24}{5},6,\frac{36}{5}$。

答案： 解：
△ABC为等边三角形，周长36cm，M、N第一次相遇时间为12s（N追M，初始距离24cm，速度差2cm/s，24÷2=12s），故$0＜t≤12$。
根据线段垂直平分线性质，顶点到M、N距离相等，分三种情况：
一、垂直平分线过点A（$AM=AN$）
1. $2＜t≤3$：M在AB上，$AM=4t$；N在CA上，$AN=60-6t$。
$4t=60-6t\Rightarrow t=\frac{12}{5}=2.4$。
2. $4＜t≤6$：M在BC上，N在AB上，M到C、N到B时，MN=CB，垂直平分线过A，$t=6$。
二、垂直平分线过点B（$BM=BN$）
1. $0＜t≤2$：M在AB上，$BM=12-4t$；N在BC上，$BN=6t$。
$12-4t=6t\Rightarrow t=\frac{6}{5}=1.2$。
2. $4＜t≤6$：M在BC上，$BM=4(t-3)$；N在AB上，$BN=36-6t$。
$4(t-3)=36-6t\Rightarrow t=\frac{24}{5}=4.8$。
三、垂直平分线过点C（$CM=CN$）
1. $3＜t≤4$：M在BC上，$CM=24-4t$；N在CA上，$CN=6(t-2)$。
$24-4t=6(t-2)\Rightarrow t=\frac{18}{5}=3.6$。
2. $6＜t≤8$：M在CA上，$CM=4(t-6)$；N在BC上，$CN=48-6t$。
$4(t-6)=48-6t\Rightarrow t=\frac{36}{5}=7.2$。
结论：$t=\frac{6}{5},\frac{12}{5},\frac{18}{5},\frac{24}{5},6,\frac{36}{5}$
$\boxed{\frac{6}{5},\frac{12}{5},\frac{18}{5},\frac{24}{5},6,\frac{36}{5}}$

15. 如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两点,DM与EN相交于点F。
(1)若∠ACB= 110°,则∠MCN的度数为40°。
(2)若∠MCN= α,则∠MFN的度数为90°-α/2。(用含α的代数式表示)
(3)连结FA,FB,FC,△CMN的周长为6 cm,△FAB的周长为16 cm,求FC的长。
5cm

答案：
(1)
∵DM垂直平分AC，
∴MA=MC，
∴∠A=∠MCA。
∵EN垂直平分BC，
∴NB=NC，
∴∠B=∠NCB。
在△ABC中，∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-110°=70°。
∴∠MCN=∠ACB-(∠MCA+∠NCB)=∠ACB-(∠A+∠B)=110°-70°=40°。
(2)
∵MA=MC，
∴∠CMN=2∠A；
∵NB=NC，
∴∠CNM=2∠B。
∠CMN+∠CNM=2(∠A+∠B)，在△MCN中，∠A+∠B=(180°-∠MCN)/2=(180°-α)/2。
∵DM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠FMC=90°-∠A，∠FNC=90°-∠B。
∠MFN=180°-(∠FMC+∠FNC)=180°-[(90°-∠A)+(90°-∠B)]=∠A+∠B=(180°-α)/2=90°-α/2。
(3)△CMN周长=CM+MN+CN=MA+MN+NB=AB=6cm。
△FAB周长=FA+FB+AB=16cm，
∴FA+FB=16-6=10cm。
∵F在AC、BC垂直平分线上，
∴FA=FC，FB=FC，
∴FA=FB=FC。
∴2FC=10cm，FC=5cm。
(1)40°
(2)90°-α/2
(3)5cm