《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

13. 若关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}3x + y = 1 + a \\ x + 3y = 3\end{cases} $ 的解满足 $x + y ＜ 2$,则 $a$ 的取值范围为$a＜4$。

答案： $a＜4$

14. 若关于 $x$ 的不等式 $2x + a \geq 3(x + 2)$ 有三个正整数解,求 $a$ 的取值范围。

答案： 解不等式$2x + a \geq 3(x + 2)$：
去括号，得$2x + a \geq 3x + 6$，
移项，得$2x - 3x \geq 6 - a$，
合并同类项，得$-x \geq 6 - a$，
系数化为1，得$x \leq a - 6$。
因为不等式有三个正整数解，正整数解为1，2，3，
所以$3 \leq a - 6 ＜ 4$，
解得$9 \leq a ＜ 10$。
结论：$9 \leq a ＜ 10$

15. 若不等式 $\frac{2x + 5}{3} - 1 \leq 2 - x$ 的解集中 $x$ 的每一个值都能使关于 $x$ 的不等式 $3(x - 1) + 5 ＞ 5x + 2(m + x)$ 成立,求 $m$ 的取值范围。

答案： 解第一个不等式：$\frac{2x + 5}{3} - 1 \leq 2 - x$
两边同乘3：$2x + 5 - 3 \leq 6 - 3x$
化简：$2x + 2 \leq 6 - 3x$
移项：$5x \leq 4$
解得：$x \leq \frac{4}{5}$
解第二个不等式：$3(x - 1) + 5 ＞ 5x + 2(m + x)$
展开：$3x - 3 + 5 ＞ 5x + 2m + 2x$
化简：$3x + 2 ＞ 7x + 2m$
移项：$-4x ＞ 2m - 2$
两边同除以$-4$（变号）：$x ＜ \frac{1 - m}{2}$
由题意，$x \leq \frac{4}{5}$的每一个值都满足$x ＜ \frac{1 - m}{2}$，则$\frac{1 - m}{2} ＞ \frac{4}{5}$
解得：$1 - m ＞ \frac{8}{5}$
$-m ＞ \frac{3}{5}$
$m ＜ -\frac{3}{5}$
综上，$m$的取值范围是$m ＜ -\frac{3}{5}$