《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

12. 如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,点A'与点A重合。
(1)若∠A= 75°,则∠1+∠2= 150°。
(2)若∠A= n°,则∠1+∠2= 2n°。
(3)由第(1)(2)题探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系,并说明理由。
∠1+∠2 = 2∠A。
理由：
在△ABC中，∠A+∠AED+∠ADE = 180°，所以∠AED+∠ADE = 180°-∠A。
由折叠得∠A'ED=∠AED，∠A'DE=∠ADE。
∠1 = 180°-2∠AED，∠2 = 180°-2∠ADE。
∠1+∠2=360°-2(∠AED+∠ADE)=360°-2(180°-∠A)=2∠A。

答案：
(1)
因为$\angle A = 75^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle AED+\angle ADE = 180^{\circ}-\angle A=105^{\circ}$。
由折叠可知$\angle A'ED=\angle AED$，$\angle A'DE=\angle ADE$，所以$\angle A'ED+\angle A'DE = 105^{\circ}$。
$\angle 1 = 180^{\circ}-2\angle AED$，$\angle 2 = 180^{\circ}-2\angle ADE$。
$\angle 1+\angle 2=360^{\circ}-2(\angle AED+\angle ADE)=360^{\circ}-2×105^{\circ}=150^{\circ}$。
(2)
因为$\angle A = n^{\circ}$，所以$\angle AED+\angle ADE = 180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-n^{\circ}$。
由折叠可知$\angle A'ED=\angle AED$，$\angle A'DE=\angle ADE$，则$\angle 1+\angle 2=360^{\circ}-2(\angle AED+\angle ADE)=360^{\circ}-2(180^{\circ}-n^{\circ}) = 2n^{\circ}$。
(3)
$\angle 1+\angle 2 = 2\angle A$。
理由：
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle AED+\angle ADE = 180^{\circ}$，所以$\angle AED+\angle ADE = 180^{\circ}-\angle A$。
由折叠得$\angle A'ED=\angle AED$，$\angle A'DE=\angle ADE$。
$\angle 1 = 180^{\circ}-2\angle AED$，$\angle 2 = 180^{\circ}-2\angle ADE$。
$\angle 1+\angle 2=360^{\circ}-2(\angle AED+\angle ADE)=360^{\circ}-2(180^{\circ}-\angle A)=2\angle A$。

13. 如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在图示位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序号是(D)
A.①
B.②
C.⑤
D.⑥

答案： D

14. 如图,直线m是△ABC中BC的垂直平分线,P是直线m上一动点,若AB= 8,AC= 7,BC= 9,则△APC周长的最小值是(A)
A.15
B.16
C.17
D.15.5

答案： A

15. 如图所示,∠ABC内有一点P,在BA,BC边上各取一点$P_1,P_2,$使$△PP_1P_2$的周长最小。

答案： 1. 作点P关于BA的对称点P'；
2. 作点P关于BC的对称点P''；
3. 连接P'P''，分别交BA、BC于点P₁、P₂；
4. 则P₁、P₂即为所求。