《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

12. 类比一元一次方程的定义,观察下列给出的方程,找出它们的共同特征,试给出名称,并写出定义。
$x^{3}+x^{2}-3x+4= 0$,$x^{3}+x-1= 0$,$x^{3}-2x^{2}+3= x$,$y^{3}+2y^{2}-5y-1= 0$。

答案： 1. 观察方程：
$x^{3}+x^{2}-3x+4= 0$，$x^{3}+x-1= 0$，$x^{3}-2x^{2}+3= x$，$y^{3}+2y^{2}-5y-1= 0$。
2. 共同特征：
每个方程中未知数的最高次数均为3，且均为整式方程。
3. 名称：
一元三次方程。
4. 定义：
含有一个未知数，未知数的最高次数为3，且两边都是整式的方程。

13. 现规定a,b两数之间的一种运算,记作(a,b):若$a^{c}= b$,则(a,b)= c。如(2,8)= 3。试说明下列结论均正确:
(1)对于任意自然数n,都有$(3^{n},4^{n})= (3,4)$。
(2)(3,4)+(3,5)= (3,20)。

答案：
(1)设$(3,4)=c$，由定义得$3^c = 4$。
$\because (3^n)^c = 3^{nc} = (3^c)^n = 4^n$，
$\therefore (3^n,4^n)=c$，即$(3^n,4^n)=(3,4)$。
(2)设$(3,4)=a$，$(3,5)=b$，由定义得$3^a = 4$，$3^b = 5$。
$\because 3^{a+b}=3^a \cdot 3^b = 4 × 5 = 20$，
$\therefore (3,20)=a+b$，即$(3,4)+(3,5)=(3,20)$。

14. 定义一种对于三位数$\overline{abc}$(a,b,c 不完全相同)的“F 运算”:重排$\overline{abc}$的三个数位上的数字,计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)。如:若$\overline{abc}= 213$,则$\boxed{213}\xrightarrow{F}\boxed{198}$(321-123= 198)$\xrightarrow{F}$(981-189= 792)。
(1)579 经过三次“F 运算”得______。
(2)假设$\overline{abc}$中a＞b＞c,则$\overline{abc}$经过一次“F 运算”得______(用代数式表示)。
(3)猜想:任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值,请证明你的猜想。
(1)495
(2)99(a-c)
(3)证明：① 495是不动点：对495进行F运算，最大数954，最小数459，954-459=495，故495运算后仍为495。② 任意三位数经F运算后为99的倍数（设三位数数字x≥y≥z，差=99(x-z)）。99的三位数倍数有198,297,396,495,594,693,792,891,990。③ 对这些数运算：198→792→693→594→495；990→891→792→…→495；396→594→495。均收敛于495。综上，任意三位数经若干次F运算得定值495。

答案：
(1) 第一次F运算：579的最大数为975，最小数为579，差为975-579=396；
第二次F运算：396的最大数为963，最小数为369，差为963-369=594；
第三次F运算：594的最大数为954，最小数为459，差为954-459=495。
答案：495
(2) 因a＞b＞c，最大三位数为100a+10b+c，最小三位数为100c+10b+a，差为(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)。
答案：99(a-c)
(3) 证明：
① 495是不动点：对495进行F运算，最大数954，最小数459，954-459=495，故495运算后仍为495。
② 任意三位数经F运算后为99的倍数（设三位数数字x≥y≥z，差=99(x-z)）。99的三位数倍数有198,297,396,495,594,693,792,891,990。
③ 对这些数运算：198→792→693→594→495；990→891→792→…→495；396→594→495。均收敛于495。
综上，任意三位数经若干次F运算得定值495。
答案：495