《2025年新课标学习方法指导丛书八年级数学上册浙教版》

【例4】如图,在△ABC和△DEF中,∠B= ∠DEF,AB= DE,添加一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件可能是(D)

A.∠A= ∠D
B.AC//DF
C.BE= CF
D.AC= DF

【分析】根据全等三角形的判定,利用ASA,AAS,SAS即可得出答案。
解：因为∠B= ∠DEF,AB= DE,所以当∠A= ∠D时,由ASA可得△ABC≌△DEF,故A不符合题意；当AC//DF时,则∠ACB= ∠F,由AAS可得△ABC≌△DEF,故B不符合题意；当BE= CF时,则BC= EF,由SAS可得△ABC≌△DEF,故C不符合题意；当AC= DF时,不能得出△ABC≌△DEF,故D符合题意。选D。

答案： D

【例5】如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E为AB的中点,连结DE并延长交CB的延长线于点F,作EG⊥DF交CF于点G。求证：
(1)△ADE≌△BFE。
(2)DF平分∠ADG。

【分析】(1)由AD与BC平行,利用两直线平行,内错角相等,得到一对角相等,再由E为AB中点得到一对边相等,结合图中一对对顶角相等,即可得出△ADE≌△BFE。(2)由(1)得到DE= FE,又由于EG⊥DF,得△GDE≌△GFE,从而∠GDF= ∠F,根据等量代换即证。
证明：(1)因为AD//BC,所以∠ADE= ∠BFE。
因为E为AB的中点,所以AE= BE。
在△ADE和△BFE中,
∠ADE= ∠BFE,∠AED= ∠BEF,AE= BE,
所以△ADE≌△BFE(AAS)。
(2)因为△ADE≌△BFE,所以DE= FE。
所以GE⊥DF,所以∠DEG= ∠FEG= 90°。
又因为EG= EG,所以△GDE≌△GFE(SAS),所以∠GDF= ∠F。由(1)知∠ADE= ∠F,所以∠GDF= ∠ADE,即DF平分∠ADG。

答案： 证明：
(1)
因为$AD // BC$，所以$\angle ADE = \angle BFE$。
因为$E$为$AB$的中点，所以$AE = BE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle BFE$中，
$\begin{cases}\angle ADE = \angle BFE\\\angle AED = \angle BEF\\AE = BE\end{cases}$
所以$\triangle ADE \cong \triangle BFE(AAS)$。
(2)
因为$\triangle ADE \cong \triangle BFE$，所以$DE = FE$。
因为$GE \perp DF$，所以$\angle DEG = \angle FEG = 90^{\circ}$。
又因为$EG = EG$，所以$\triangle GDE \cong \triangle GFE(SAS)$，所以$\angle GDF = \angle F$。
由
(1)知$\angle ADE = \angle F$，所以$\angle GDF = \angle ADE$，即$DF$平分$\angle ADG$。