《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

2. 下列各式从左到右的变形,为因式分解且正确的是(C)
A.$(a + 3)^{2}= a^{2}+6a + 9$
B.$a^{2}-4a + 4= a(a - 4)+4$
C.$5ax^{2}-5ay^{2}= 5a(x + y)(x - y)$
D.$a^{2}-2a - 8= (a - 2)(a + 4)$

答案： C

3. 小皓是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:$a - b$,$x - y$,$x + y$,$a + b$,$x^{2}-y^{2}$,$a^{2}-b^{2}$分别对应下列六个字:重、爱、我、庆、游、美,现将$(x^{2}-y^{2})a^{2}-(x^{2}-y^{2})b^{2}$分解因式,结果呈现的密码信息可能是(C)
A.我爱美
B.重庆游
C.爱我重庆
D.美我重庆

答案： C

4. 若实数 $a$,$b$ 满足 $a + b = 2$,$a^{2}b + ab^{2}= -10$,则 $ab$ 的值是 -5。

答案： -5

5. 已知 $ab= -3$,$a - 3b = 5$,则 $a^{3}b-6a^{2}b^{2}+9ab^{3}$ 的值为 $-75$。

答案： $-75$（由于题目要求不填选项，故直接给出数值答案）

6. 参考下面的图形分解因式:$a^{2}+4ab + 3b^{2}$ = $(a + b)(a + 3b)$。

答案： 由图形可知，大长方形的面积为$a(a + 4b)$，
也可以看作是由一个边长为$a$的正方形，一个长为$a$，宽为$3b$的长方形和一个边长为$3b$和$b$（通过计算可得另一边为$b$）的长方形组成，其面积和为$a^{2}+ab + 3ab+3b^{2}=a^{2}+4ab + 3b^{2}$。
所以$a^{2}+4ab + 3b^{2}=(a + b)(a + 3b)$。
故答案为$(a + b)(a + 3b)$。

7. 已知 $a$,$b$,$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边的长,且满足 $a^{2}+2ac + b^{2}= 2ab + 2bc$,则此三角形的形状是 等腰三角形。

答案： 由已知条件 $a^{2} + 2ac + b^{2} = 2ab + 2bc$，
移项得：
$a^{2} + 2ac + b^{2} - 2ab - 2bc = 0$，
将上式进行分组和配方：
$(a^{2} - 2ab + b^{2}) + 2(ac - bc) = 0$
$(a - b)^{2} + 2c(a - b) = 0$
提取公因式$(a - b)$：
$(a - b)(a - b + 2c) = 0$，
由此可得以下两种情况：
$a - b = 0$，
$a - b + 2c = 0$，
对于第一种情况 $a - b = 0$，得 $a = b$。
对于第二种情况 $a - b + 2c = 0$，
由于$a,b,c$为三角形的三边，根据三角形的性质，两边之差小于第三边，所以有：
$a - b ＜ c$，
结合第二种情况，可以得到：
$a - b + 2c =0$
$a - b = -2c$
由于$c$为正数，所以$a - b$为负，且绝对值大于$c$，这与三角形的性质矛盾，所以第二种情况不成立。
因此，唯一成立的情况是 $a = b$，说明此三角形是等边（等腰）三角形对形状更准确的判断应为等腰三角形，题目未指明是等边三角形，在一般最简洁的解答中，我们通常说这是等腰三角形。
故答案为：等腰三角形。

8. 分解因式:
(1) $4ax^{2}-ay^{2}$；
(2) $ab^{4}-4ab^{3}+4ab^{2}$；
(3) $27(m - 2)-3m^{2}(m - 2)$。

答案：
(1) $4ax^{2}-ay^{2}$
$=a(4x^{2}-y^{2})$
$=a(2x+y)(2x-y)$
(2) $ab^{4}-4ab^{3}+4ab^{2}$
$=ab^{2}(b^{2}-4b+4)$
$=ab^{2}(b-2)^{2}$
(3) $27(m - 2)-3m^{2}(m - 2)$
$=3(m-2)(9 - m^{2})$
$=3(m-2)(3 + m)(3 - m)$

9. 阅读下面的材料,解答后面的问题:
在代数式变形中,我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫作配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法,借助它不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能求代数式的最大值、最小值等.
如:求代数式 $x^{2}-12x + 2025$ 的最小值.
解:原式 $=x^{2}-12x + 6^{2}-6^{2}+2025$
$=(x - 6)^{2}+1989$.
$\because (x - 6)^{2}\geq0$,且当 $x = 6$ 时,$(x - 6)^{2}$ 的值最小,最小值为 0.
$\therefore (x - 6)^{2}+1989\geq1989$.
即代数式 $x^{2}-12x + 2025$ 的最小值是 $1989$.
又如:分解因式:$x^{2}-120x + 3456$.
解:原式 $=x^{2}-2×60x + 60^{2}-60^{2}+3456$
$=(x - 60)^{2}-144$
$=(x - 60 + 12)(x - 60 - 12)$
$=(x - 48)(x - 72)$.
(1) 分解因式 $x^{2}-6x - 1591$；
(2) 若 $y= -x^{2}+16x + 124$,求 $y$ 的最大值.

答案：
(1) 原式 $=x^{2}-6x - 1591$
$=x^{2}-6x + 9 - 9 - 1591$
$=(x - 3)^{2}-1600$
$=(x - 3 + 40)(x - 3 - 40)$
$=(x + 37)(x - 43)$
(2) $y = -x^{2}+16x + 124$
$y = - (x^{2}-16x) + 124$
$y = - (x^{2}-16x + 64 - 64) + 124$
$y = - (x - 8)^{2}+64 + 124$
$y = - (x - 8)^{2}+188$
$\because -(x - 8)^{2}\leq0$，当 $x = 8$ 时，$-(x - 8)^{2}$ 最大值为 $0$。
$\therefore y$ 的最大值为 $188$。