《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
思考(1)如图1,PQ//BC.你能根据此图证明△ABC三个内角的和等于180°吗？
(2)如图2,CE//AB.你能根据此图证明△ABC三个内角的和等于180°吗？
(3)上述方法之外,还有其他证明三角形三个内角的和等于180°的方法吗？
练习(数学与生活)“生活中处处有数学”,请看下图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,我们就可以得到一个常用的几何结论,这一结论是三角形的内角和等于180°.
13.3.1 三角形的内角(课时1)

答案： 180°
(1)证明：
∵PQ//BC，
∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵点P，A，Q在同一直线上，
∴∠PAQ=180°，即∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即△ABC三个内角的和等于180°。
(2)证明：
∵CE//AB，
∴∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等），∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∵点B，C，D在同一直线上，
∴∠BCD=180°，即∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，
∴∠ACB+∠A+∠B=180°，即△ABC三个内角的和等于180°。
(3)有，过点B作BD//AC（证明：
∵BD//AC，
∴∠ABD=∠A，∠DBC=∠C，
∵∠ABD+∠DBC+∠ABC=180°，
∴∠A+∠C+∠ABC=180°）。
三角形的内角和等于180°

三角形内角和定理：三角形的内角和等于______.
思考(1)如图1,PQ//BC.你能根据此图证明△ABC三个内角的和等于180°吗？
(2)如图2,CE//AB.你能根据此图证明△ABC三个内角的和等于180°吗？
(3)上述方法之外,还有其他证明三角形三个内角的和等于180°的方法吗？
练习(数学与生活)“生活中处处有数学”,请看下图,折叠一张三角形纸片,把三角形的三个角拼在一起,我们就可以得到一个常用的几何结论,这一结论是______.

答案： 三角形内角和定理：180°
思考
(1)：
∵PQ//BC，
∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等），∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（平角定义），
∴∠B+∠BAC+∠C=180°。
思考
(2)：
∵CE//AB，
∴∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等），∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）。
∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°。
思考
(3)：过点B作BD//AC，延长CB至E，则∠EBD=∠C（两直线平行，同位角相等），∠ABD=∠A（两直线平行，内错角相等）。
∵∠EBD+∠ABD+∠ABC=180°（平角定义），
∴∠C+∠A+∠ABC=180°。
练习：三角形的内角和等于180°

例1 在△ABC中,(1)若∠A= 70°,∠C= 30°,则∠B= 80°；(2)若∠A= 70°,∠B= ∠C,求∠B的度数；(3)若∠A：∠B：∠C= 2：3：4,求∠B和∠C的度数.
名师导引 三角形内角和定理常见的三种应用：(1)已知两个角的度数,可以直接求出第三个角的度数；(2)已知一个角的度数,可以求出另外两个角的度数和；(3)已知三个角的关系,可以设未知数建立方程,进而求出这三个角的度数.

答案：
(1)
根据三角形内角和定理，$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$。
已知$\angle A = 70^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，则：
$\angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ}$。
(2)
根据三角形内角和定理，$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$。
已知$\angle A = 70^{\circ}$，$\angle B = \angle C$，则：
$\angle B = \angle C = \frac{180^{\circ} - \angle A}{2} = \frac{180^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = 55^{\circ}$。
(3)
设$\angle A = 2x$，$\angle B = 3x$，$\angle C = 4x$。
根据三角形内角和定理，$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$，则：
$2x + 3x + 4x = 180^{\circ}$，
$9x = 180^{\circ}$，
$x = 20^{\circ}$。
所以，$\angle B = 3x = 60^{\circ}$，$\angle C = 4x = 80^{\circ}$。

变式训练 一个三角形的三个内角度数之比为∠A：∠B：∠C= 1：2：3,则∠A= 30°,∠B= 60°,∠C= 90°.

答案： 30°，60°，90°

例2 如图,一轮船由B处向C处航行,在B处测得C处在B的北偏东75°方向,在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向,C在A的南偏东25°方向.若轮船行驶到C处,那么从C处看A,B两处的视角∠ACB是多少度？

答案： 解：由题意得，在点A处，B在南偏西30°，C在南偏东25°，
∴∠BAC=30°+25°=55°．
在点B处，C在北偏东75°，又A在B的北偏东30°（方向相对性），
∴∠ABC=75°-30°=45°．
在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-45°=80°．
答：∠ACB是80度．

例1 在△ABC中,(1)若∠A= 70°,∠C= 30°,则∠B= ______；(2)若∠A= 70°,∠B= ∠C,求∠B的度数；(3)若∠A：∠B：∠C= 2：3：4,求∠B和∠C的度数.
名师导引 三角形内角和定理常见的三种应用：(1)已知两个角的度数,可以直接求出第三个角的度数；(2)已知一个角的度数,可以求出另外两个角的度数和；(3)已知三个角的关系,可以设未知数建立方程,进而求出这三个角的度数.

答案：
(1)80°；
(2)55°；
(3)∠B=60°，∠C=80°。

变式训练 一个三角形的三个内角度数之比为∠A：∠B：∠C= 1：2：3,则∠A= ______,∠B= ______,∠C= ______.

答案： $\angle A=30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle C=90^{\circ}$（按题目顺序填写）即答案填30°（或$30^{\circ}$），60°（或$60^{\circ}$），90°（或$90^{\circ}$）

例2 如图,一轮船由B处向C处航行,在B处测得C处在B的北偏东75°方向,在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向,C在A的南偏东25°方向.若轮船行驶到C处,那么从C处看A,B两处的视角∠ACB是多少度？

答案： 解：
1. 确定∠BAC的度数：
由A测得B在南偏西30°，C在南偏东25°，则∠BAC=30°+25°=55°。
2. 确定∠ABC的度数：
由A测得B在南偏西30°，得B在A的北偏东30°，即BA与B处正北方向夹角为30°；
由B测得C在北偏东75°，即BC与B处正北方向夹角为75°；
故∠ABC=75°-30°=45°。
3. 计算∠ACB：
在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-45°=80°。
答：∠ACB是80度。