《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

4. 如图,BD 是∠ABC 的平分线,AB = BC,点 E 在 BD 上,连接 AE,CE,过点 D 作 DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是 F,G.求证：
(1)△ABE ≌ △CBE；
(2)EF = EG.

答案：
(1)
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE。在△ABE和△CBE中，AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)。
(2) 由
(1)知△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE，AE=CE。
∵DF⊥AE，DG⊥CE，
∴∠DFE=∠DGE=90°。在△ADF和△CDG中，∠DFA=∠DGC=90°，∠DAF=∠DCG，AD=CD（由△ABD≌△CBD可证，过程略），
∴△ADF≌△CDG(AAS)，
∴DF=DG。在Rt△DFE和Rt△DGE中，DE=DE，DF=DG，
∴Rt△DFE≌Rt△DGE(HL)，
∴EF=EG。

5. 如图,点 C 为∠AOB 的平分线上一点,D,E 分别在边 OA,OB 上,且 CD = CE.作 CF⊥OA,垂足为 F,若 OF = 5,则 OD + OE 的长为(A)

A.10
B.11
C.12
D.15

答案： A

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
思考
这个命题的条件是：角的内部有一个点到角两边的距离相等,结论是：这个点在角的平分线上.它的条件、结论与角平分线的性质的条件和结论有什么样的关系？
练习

如图,$O是\triangle ABC$内一点,且点$O到\triangle ABC$三边的距离相等,$\angle A= 60^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为(B)
A.$110^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$140^{\circ}$

答案： B

例1 如图,$AD是\triangle ABC$的中线,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$,且$BE= CF$.求证：$AD是\angle BAC$的平分线.

名师导引 证明角的平分线的方法主要有两种：一是利用角的平分线的定义证明角相等；二是利用角平分线的判定方法.

答案： 证明：
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，
所以$BD = DC$。
又因为$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
所以$\angle BED = \angle CFD = 90°$。
在$\triangle BED$和$\triangle CFD$中，
$\begin{cases}BD = DC, \\BE = CF.\end{cases}$
根据$HL$定理，$\triangle BED \cong \triangle CFD$，
所以$DE = DF$。
因为$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，且$DE = DF$，
所以点$D$在$\angle BAC$的平分线上，
即$AD$平分$\angle BAC$。

如图,$P是\angle BAC$内的一点,$PE\perp AB$,$PF\perp AC$,垂足分别为点$E$,$F$,$AE= AF$. 求证：(1)$PE= PF$；(2)点$P在\angle BAC$的平分线上.

答案：
(1)连接AP。
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=90°。
在Rt△AEP和Rt△AFP中，
$\left\{\begin{array}{l} AP=AP\\ AE=AF\end{array}\right.$
∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)。
∴PE=PF。
(2)由
(1)知Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP。
∴AP平分∠BAC。
∵点P在∠BAC内，
∴点P在∠BAC的平分线上。

例2 如图,$BD$,$CD分别是\triangle ABC的外角\angle MBC$,$\angle NCB$的平分线,且交于点$D$. 过点$D分别作AM$,$BC$,$AN$的垂线,垂足分别为$E$,$G$,$F$. 求证：点$D在\angle A$的平分线上.

答案： 证明：
∵BD平分∠MBC，DE⊥AM，DG⊥BC，
∴DE=DG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵CD平分∠NCB，DG⊥BC，DF⊥AN，
∴DG=DF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∴DE=DF。
∵DE⊥AM，DF⊥AN，
∴点D在∠A的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）。