《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

例 2 计算：
(1)$49×51$；
(2)$100^{2} - 101×99$；
(3)$(a - 1)(a + 1)(a^{2} + 1)(a^{4} + 1)$.

答案：

1. 计算$49×51$：

解：

可将$49$写成$(50 - 1)$，$51$写成$(50 + 1)$，根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 50$，$b = 1$。

则$49×51=(50 - 1)(50 + 1)$

$=50^{2}-1^{2}$

$=2500 - 1$

$=2499$

2. 计算$100^{2}-101×99$：

解：

先计算$101×99$，把$101$写成$(100 + 1)$，$99$写成$(100 - 1)$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 100$，$b = 1$。

$101×99=(100 + 1)(100 - 1)=100^{2}-1^{2}$。

那么$100^{2}-101×99=100^{2}-(100^{2}-1)$

$=100^{2}-100^{2}+1$

$=1$

3. 计算$(a - 1)(a + 1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)$：

解：

先利用平方差公式$(a - 1)(a + 1)=a^{2}-1$。

则原式$=(a^{2}-1)(a^{2}+1)(a^{4}+1)$。

再根据平方差公式$(a^{2}-1)(a^{2}+1)=a^{4}-1$。

所以$(a^{4}-1)(a^{4}+1)$。

又根据平方差公式$(a^{4}-1)(a^{4}+1)=a^{8}-1$。

综上，（1）$2499$；（2）$1$；（3）$a^{8}-1$。

变式训练 计算：
(1)$100\frac{1}{5}×99\frac{4}{5}$；
(2)$2023^{2} - 2024×2022$；
(3)$(x - \frac{1}{2})(-\frac{1}{2} - x)(-\frac{1}{4} - x^{2})$.

答案： 1. 计算$100\frac{1}{5}×99\frac{4}{5}$：
解：
先将$100\frac{1}{5}$变形为$100 + \frac{1}{5}$，$99\frac{4}{5}$变形为$100-\frac{1}{5}$。
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 100$，$b=\frac{1}{5}$。
则$100\frac{1}{5}×99\frac{4}{5}=(100+\frac{1}{5})(100 - \frac{1}{5})$。
由平方差公式可得$(100+\frac{1}{5})(100 - \frac{1}{5})=100^{2}-(\frac{1}{5})^{2}$。
计算$100^{2}-(\frac{1}{5})^{2}=10000-\frac{1}{25}=9999\frac{24}{25}$。
2. 计算$2023^{2}-2024×2022$：
解：
把$2024$变形为$2023 + 1$，$2022$变形为$2023-1$。
则$2024×2022=(2023 + 1)(2023-1)$。
根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 2023$，$b = 1$，所以$(2023 + 1)(2023-1)=2023^{2}-1$。
那么$2023^{2}-2024×2022=2023^{2}-(2023^{2}-1)$。
去括号得$2023^{2}-2023^{2}+1=1$。
3. 计算$(x-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-x)(-\frac{1}{4}-x^{2})$：
解：
先计算$(x-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-x)$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a=-\frac{1}{2}$，$b = x$，则$(x-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}-x)=(-\frac{1}{2}+x)(-\frac{1}{2}-x)=(-\frac{1}{2})^{2}-x^{2}=\frac{1}{4}-x^{2}$。
再计算$(\frac{1}{4}-x^{2})(-\frac{1}{4}-x^{2})$，此时$a=-x^{2}$，$b=\frac{1}{4}$，根据平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$。
则$(\frac{1}{4}-x^{2})(-\frac{1}{4}-x^{2})=(-x^{2}+\frac{1}{4})(-x^{2}-\frac{1}{4})=(-x^{2})^{2}-(\frac{1}{4})^{2}$。
计算得$x^{4}-\frac{1}{16}$。
综上，答案依次为：
(1)$9999\frac{24}{25}$；
(2)$1$；
(3)$x^{4}-\frac{1}{16}$。

1. 下列多项式乘法,能用平方差公式计算的是(B)
A.$(-3x - 2)(3x + 2)$
B.$(-a - b)(-b + a)$
C.$(-3x + 2)(2 - 3x)$
D.$(3x + 2)(2x - 3)$

答案： B

2. 根据平方差公式填表：
| $(a + b)(a - b)$ | $a$ | $b$ | $a^{2} - b^{2}$ | 结果 |
| $(2x + 3)(2x - 3)$ | $2x$ | $3$ | $(2x)^{2} - 3^{2}$ | $4x^2 - 9$ |
| $(-m + n)(-m - n)$ | $-m$ | $n$ | $(-m)^{2} - n^{2}$ | $m^2 - n^2$ |
| $(b + 3a)(3a - b)$ | $3a$ | $b$ | $(3a)^{2} - b^{2}$ | $9a^2 - b^2$ |

答案： | $(a + b)(a - b)$ | $a$ | $b$ | $a^{2} - b^{2}$ | 结果 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $(2x + 3)(2x - 3)$ | $2x$ | $3$ | $(2x)^{2} - 3^{2}$ | $4x^2 - 9$ |
| $(-m + n)(-m - n)$ | $-m$ | $n$ | $(-m)^{2} - n^{2}$ | $m^2 - n^2$ |
| $(b + 3a)(3a - b)$ | $3a$ | $b$ | $(3a)^{2} - b^{2}$ | $9a^2 - b^2$ |

3. 若$a^{2} - b^{2} = 16$,$a + b = 8$,则$a - b = $2.

答案：
2

4. (1)先化简,再求值：$(a - 3b)(3b + a) + (a - b)(a + 2b)$,其中$a = 1$,$b = -1$.
(2)若$(x - 2)(x + 2)(x^{2} + a) = x^{4} - 16$,求$a$的值.

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(a - 3b)(3b + a) + (a - b)(a + 2b)\\=&(a^2 - (3b)^2) + (a^2 + 2ab - ab - 2b^2)\\=&a^2 - 9b^2 + a^2 + ab - 2b^2\\=&2a^2 + ab - 11b^2\end{aligned}$
当$a = 1$，$b = -1$时，
$\begin{aligned}&2×1^2 + 1×(-1) - 11×(-1)^2\\=&2 - 1 - 11\\=&-10\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(x - 2)(x + 2)(x^2 + a)\\=&(x^2 - 4)(x^2 + a)\\=&x^4 + ax^2 - 4x^2 - 4a\\=&x^4 + (a - 4)x^2 - 4a\end{aligned}$
因为$(x - 2)(x + 2)(x^2 + a) = x^4 - 16$，所以：
$\begin{cases}a - 4 = 0\\-4a = -16\end{cases}$
解得$a = 4$

5. 如图,在边长为$a的正方形中挖去一个边长为b$的小正方形,把余下的部分剪拼成一个矩形.

(1)通过计算两个图形的面积(阴影部分),可以验证等式(B)
A. $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
B. $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
C. $a^{2} + ab = a(a + b)$
D. $a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$
(2)应用你从(1)选出的等式,完成下列各题：
①已知：$a + b = 7$,$a^{2} - b^{2} = 28$,求$a - b$的值；
②计算：$(1 - \frac{1}{2^{2}})×(1 - \frac{1}{3^{2}})×(1 - \frac{1}{4^{2}})×…×(1 - \frac{1}{2025^{2}})$；
(2)①$4$；②$\frac{1013}{2025}$

答案：
(1)原正方形面积为$a^{2}$，挖去的小正方形面积为$b^{2}$，则阴影部分面积为$a^{2}-b^{2}$；
拼成的矩形长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$，
所以$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，
答案选B。
(2)①
$\because a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，
$\because a + b = 7$，$a^{2}-b^{2}=28$，
$\therefore a - b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}=\frac{28}{7}=4$。
②
$\because1-\frac{1}{n^{2}}=\frac{n^{2}-1}{n^{2}}=\frac{(n - 1)(n + 1)}{n^{2}}$，
$\therefore(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×\cdots×(1-\frac{1}{2025^{2}})$
$=\frac{1×3}{2^{2}}×\frac{2×4}{3^{2}}×\frac{3×5}{4^{2}}×\cdots×\frac{2024×2026}{2025^{2}}$
$=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}$
$=\frac{1013}{2025}$
综上，答案依次为：
(1)B；
(2)①$4$；②$\frac{1013}{2025}$。