《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

例 2 如图,已知 $ \triangle ABC $。
(1)用尺规作图方法作 $ AC $ 的垂直平分线 $ MN $,交 $ AB $ 于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ D $,连接 $ CE $；(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若 $ AD = 7 $,$ \triangle BCE $ 周长为 25,求 $ \triangle ABC $ 的周长。

名师导引 应用尺规作图时,要认真分析题意,结合几何图形,将问题转化为基本作图。

答案：
(2) 39

变式训练 如图,已知 $ \triangle ABC $,$ P $ 为边 $ BC $ 上一点($ BP ＜ AB $),请用尺规作图的方法在边 $ AB $ 上求作一点 $ Q $,使 $ PQ + BQ = AB $。(保留作图痕迹,不写作法)

答案： （作图痕迹如下：连接AP；分别以A、P为圆心，大于$\frac{1}{2}AP$长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线交AB于点Q），点Q即为所求。

1. 在巴黎奥运会射击混合团体 10 米气步枪比赛中,中国选手夺得本届奥运会的首枚金牌。如图是巴黎奥运会射击项目图标,这个图案的对称轴的条数为(B)

A.6
B.4
C.2
D.1

答案： D（错误，正确答案为）B

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,分别以点 $ A $,$ C $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AC $ 长为半径画弧,两弧相交于点 $ D $,$ E $,作直线 $ DE $ 与 $ BC $ 交于点 $ F $,连接 $ AF $。若 $ AB = 6 $,$ BC = 7 $,则 $ \triangle ABF $ 的周长为(A)

A.13
B.14
C.15
D.16

答案： A

3. 如图,$ P $ 是 $ \angle ACB $ 外一点,$ D $,$ E $ 分别是 $ \angle ACB $ 两边上的点,点 $ P $ 关于 $ CA $ 的对称点 $ P_1 $ 恰好落在线段 $ ED $ 上,点 $ P $ 关于 $ CB $ 的对称点 $ P_2 $ 落在 $ ED $ 的延长线上。若 $ PE = 24 $,$ PD = 32 $,$ ED = 37 $,则线段 $ P_1P_2 $ 的长为45。

答案： 45

4. (1)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,用尺规作 $ \angle ABC $ 的平分线 $ BD $ 与 $ AC $ 的垂直平分线 $ l $ 交于点 $ D $；(只保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图形中,连接 $ DA $,$ DC $,若 $ DC = AB $,探究 $ DA $ 与 $ BC $ 的位置关系,并说明理由。
请补全下面的解题过程：
解：$ DA // BC $。理由如下：

$ \because BD $ 平分 $ \angle ABC $,
$ \therefore $$\angle ABD = \angle CBD$。
$ \because l $ 是 $ AC $ 的垂直平分线,
$ \therefore $$DA = DC$。
$ \because DC = AB $,
$ \therefore $$DA = AB$。
$ \therefore \angle ADB = \angle ABD $。
$ \therefore $$\angle ADB = \angle CBD$。
$ \therefore AD // BC $。

答案： （1）略（根据描述作图：先用尺规作$\angle ABC$的角平分线$BD$，再作$AC$的垂直平分线$l$，两者交点为$D$）
（2）解：$DA// BC$，理由如下：
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD = \angle CBD$。
$\because l$是$AC$的垂直平分线，
$\therefore DA = DC$。
$\because DC = AB$，
$\therefore DA = AB$。
$\therefore\angle ADB = \angle ABD$。
$\therefore\angle ADB = \angle CBD$。
$\therefore AD// BC$。
故答案为$\angle ABD = \angle CBD$；$DA = DC$；$DA = AB$；$\angle ADB = \angle CBD$。