《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

6. 如图,在等腰 $ \triangle ABC $ 中, $ CA = CB $,点 $ D $ 是 $ AB $ 边上一点, $ DA = DC $.
(1) 如图 1, $ CH \perp AB $,若 $ \angle ACB = 78^{\circ} $,求 $ \angle HCD $ 的度数.
(2) 如图 2,若点 $ E $ 在 $ BC $ 边上且 $ DE = DB $,连接 $ AE $. 点 $ M $ 为线段 $ CE $ 的中点,过点 $ M $ 作 $ MN // DE $ 交 $ AB $ 于点 $ N $. 求证: $ CD = BN + DN $.

答案：
(1) 12°；
(2) 证明见上述过程。

有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
思考 “等角对等边”与“等边对等角”有什么关系？哪一个是等腰三角形的性质？哪一个是等腰三角形的判定方法？
填空
(1)在$\triangle ABC$中,$∠A= 100^{\circ }$,当$∠B= $$40°$时,$\triangle ABC$是等腰三角形;
(2)在$\triangle ABC$中,$∠A= 80^{\circ }$,当$∠B= $$50°$或$80°$或$20°$时,$\triangle ABC$是等腰三角形.

答案： 等腰三角形；
（1）$40°$；
（2）$50°$或$80°$或$20°$。

例1 如图,在$\triangle ABC$中,$BD平分∠ABC交AC于点D$,$DE// BC交AB于点E$. 求证:$\triangle BED$是等腰三角形.

名师导引 判定等腰三角形的方法有两个:①直接证两条边相等;②证两个角相等.
变式训练 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$.过点$A作AD// BC$,交$∠ACB的平分线于点D$,连接$BD$.
(1)求证:$\triangle ABD$为等腰三角形.
(2)若$∠BDC= 20^{\circ }$,求$∠ADC$的度数.

答案： （1）证明见上；（2）80°．

例2 如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 90^{\circ },AB= AC$,$D为BC$的中点,$E,F分别是AB,AC$上的点,且$BE= AF$.试判断$\triangle DEF$的形状.

答案： 连接AD。
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°。
∵D为BC中点，
∴AD=BD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），AD平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAD=∠CAD=45°，∠ADB=90°。
在△BDE和△ADF中，
∵BD=AD，∠B=∠DAF=45°，BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）。
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF。
∵∠ADB=90°，即∠BDE+∠EDA=90°，
∴∠ADF+∠EDA=90°（等量代换），即∠EDF=90°。
∵DE=DF且∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形。
结论：△DEF是等腰直角三角形。