《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

1. 下列计算中正确的是(C)
A.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
B.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$
C.$(-a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$(3a + 1)^2 = 3a^2 + 6a + 1$

答案： C

2. 形如 $a^2 + 2ab + b^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2$ 的式子称为完全平方式. 若 $x^2 + ax + 4$ 是一个完全平方式,则常数 $a$ 等于(D)
A.2
B.4
C.$\pm 2$
D.$\pm 4$

答案： D

3. $ab = -2$ 且 $a^2 + b^2 = 5$,则 $a + b = $$\pm1$.

答案： $\pm1$

4. 计算:
(1) $\left(-a - \frac{5}{3}b\right)^2$; (2) $302^2$;
(3) $\left(\frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y\right)^2 - \left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{4}y\right)^2$;
(4) $(2x + 3y)^2 - (x + y)(x - 2y)$.

答案：
(1)
$\begin{aligned} \left(-a - \frac{5}{3}b\right)^2 = (-a)^2 + 2×(-a)×\left(-\frac{5}{3}b\right) + \left(-\frac{5}{3}b\right)^2 = a^2 + \frac{10}{3}ab + \frac{25}{9}b^2 \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} 302^2 = (300 + 2)^2 = 300^2 + 2×300×2 + 2^2 = 90000 + 1200 + 4 = 91204 \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\left(\frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y\right)^2 - \left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{4}y\right)^2\\=&\left(\frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{3}xy + \frac{1}{16}y^2\right) - \left(\frac{4}{9}x^2 - \frac{1}{3}xy + \frac{1}{16}y^2\right)\\=&\frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{3}xy + \frac{1}{16}y^2 - \frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{3}xy - \frac{1}{16}y^2\\=&\frac{2}{3}xy\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(2x + 3y)^2 - (x + y)(x - 2y)\\=&4x^2 + 12xy + 9y^2 - (x^2 - 2xy + xy - 2y^2)\\=&4x^2 + 12xy + 9y^2 - x^2 + xy + 2y^2\\=&3x^2 + 13xy + 11y^2\end{aligned}$

5. 先化简,再求值: $[(2a - b)^2 - (b + 2a) \cdot (b - 2a)] ÷ (4a)$,其中 $a = \frac{1}{2}$, $b = 2$.

答案： $-1$。

6. 如图1是一个长为 $2m$、宽为 $2n$ 的长方形,沿图中虚线用剪刀将其均分成四块,然后按图2拼成一个正方形.

(1) 图2中的阴影部分正方形的边长等于多少?
$m - n$
(2) 请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1:$(m - n)^2$;
方法2:$(m + n)^2 - 4mn$.
(3) 观察图2,你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式: $(m + n)^2$, $(m - n)^2$, $mn$.
$(m + n)^2 - 4mn = (m - n)^2$.
(4) 根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:
若 $a - b = 7$, $ab = 5$,则 $(a + b)^2 = $69.
(5) 若 $a + b = -3$, $ab = -28$,则 $a - b = $$\pm 11$.

答案：
(1) $m - n$。
(2) 方法1：$(m - n)^2$；
方法2：$(m + n)^2 - 4mn$。
(3) $(m + n)^2 - 4mn = (m - n)^2$。
(4)
$\because (a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2$，
将$a - b = 7,ab = 5$代入得：
$(a + b)^2 = 7^2 + 4× 5 = 69$。
故答案为：$69$。
(5)
$\because (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，
将$a + b = -3,ab = -28$代入得：
$(a - b)^2 = (-3)^2 - 4× (-28) = 121$，
$\therefore a - b = \pm 11$。
故答案为：$\pm 11$。

添括号法则：$a + b + c = a + ($$b + c$$)$；$a - b - c = a - ($$b + c$$)$.
思考 正确添括号的关键是什么？
填空 $a - b - c + 1 = a - b + ($$-c + 1$$)$；$a - b - c + 1 = a - ($$b + c - 1$$)$.
正确添括号的关键是括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号。

答案： $b + c$；$b + c$；$-c + 1$；$b + c - 1$；正确添括号的关键是括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号。

例1 填空：$a^{2} - ab - b^{3} + ab^{2} = (a^{2} - ab) - ($$b^{3}-ab^{2}$$) = a^{2} - ($$ab + b^{3}$$) + ab^{2} = (a^{2} - b^{3}) + ($$ab^{2}-ab$$)$.
名师导引 添括号时要注意哪些项在括号外,哪些项在括号内.
变式训练 在括号里填上适当的项,使其符合$(a + b)(a - b)$的形式.
(1)$(a + b - c)(a - b + c) = [a + ($$b - c$$)][a - ($$b - c$$)]$；
(2)$(2a - b - c)( - 2a - b + c) = [($$-b$$) + ($$2a - c$$)][($$-b$$) - ($$2a - c$$)]$.

答案： 例1：$b^{3}-ab^{2}$；$ab + b^{3}$；$ab^{2}-ab$
变式训练：
(1)$b - c$；$b - c$
(2)$-b$；$2a - c$；$-b$；$2a - c$