《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

7. 已知$x - \frac{1}{x} = 5$,求下列代数式的值：
(1)$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$；
(2)$x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$.

答案：
(1)27；
(2)727。

例1 计算：
(1) $6x^{3}\cdot \frac{3}{2}x^{2}$；
(2) $(2x^{2})^{3}\cdot (-3x^{2}\cdot x)$；
(3) $(-2a^{3})^{4}÷ (4a^{6})$。
名师导引 幂的运算除了熟练掌握公式外,还要注意符号的处理以及整体法的应用。

答案：
(1)
$6x^{3}\cdot\frac{3}{2}x^{2}=(6×\frac{3}{2})x^{3 + 2}=9x^{5}$
(2)
先计算$(2x^{2})^{3}=2^{3}\cdot(x^{2})^{3}=8x^{6}$，$-3x^{2}\cdot x=-3x^{3}$
则$(2x^{2})^{3}\cdot(-3x^{2}\cdot x)=8x^{6}\cdot(-3x^{3})=[8×(-3)]x^{6 + 3}=-24x^{9}$
(3)
先计算$(-2a^{3})^{4}=(-2)^{4}\cdot(a^{3})^{4}=16a^{12}$
则$(-2a^{3})^{4}÷(4a^{6})=\frac{16a^{12}}{4a^{6}}=\frac{16}{4}a^{12-6}=4a^{6}$
答案依次为：
(1)$9x^{5}$；
(2)$-24x^{9}$；
(3)$4a^{6}$。

巩固提升 计算：
(1) $(-a^{3}b^{4})÷ (-\frac{1}{2}ab)^{2}=$$- 4ab^{2}$；
(2) $(a - b)^{4}\cdot (a - b)^{3}÷ (b - a)^{2}=$$(a - b)^{5}$。

答案：
(1) $- 4ab^{2}$；
(2) $(a - b)^{5}$。

例2 计算：
(1) $2a(a^{2}-a + 2)-3a^{2}(a - 1)$；
(2) $(3x^{3}-9x)÷ (3x)-(x + 1)(x - 3)$。

答案：
(1)
$2a(a^{2}-a + 2)-3a^{2}(a - 1)$
$=2a^{3}-2a^{2}+4a - 3a^{3}+3a^{2}$
$=(2a^{3}-3a^{3})+(-2a^{2}+3a^{2}) + 4a$
$=-a^{3}+a^{2}+4a$
(2)
$(3x^{3}-9x)÷(3x)-(x + 1)(x - 3)$
$=3x^{3}÷(3x)-9x÷(3x)-(x^{2}-3x+x - 3)$
$=x^{2}-3-(x^{2}-2x - 3)$
$=x^{2}-3 - x^{2}+2x + 3$
$=2x$

巩固提升 计算：
(1) $(x - y)(3x + y)-(2x + 3y)(x - 2y)=$$x^{2}-xy + 5y^{2}$；
(2) 若$(x - 3)(x + n)= x^{2}-mx - 12$,则$mn=$$-4$。

答案：
(1)$x^{2}-xy + 5y^{2}$；
(2)$-4$。

例3 计算：
(1) $(\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y)(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{2}x)$；
(2) $(a - b + 3)^{2}$；
(3) $12.2^{2}-4.88 + 0.2^{2}$。
名师导引 明确平方差公式与完全平方公式的结构特点,并注意区分。

答案：
(1)原式$=(\frac{1}{2}x)^2-(\frac{2}{3}y)^2=\frac{1}{4}x^2-\frac{4}{9}y^2$
(2)原式$=(a - b)^2+6(a - b)+9=a^2-2ab+b^2+6a-6b+9$
(3)原式$=12.2^2-2×12.2×0.2+0.2^2=(12.2 - 0.2)^2=12^2=144$