《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

变式训练 计算：
(1)$(x^{5})^{2}\cdot x^{2}= $______$x^{12}$；
(2)$(a^{2n - 1})^{2}\cdot (a^{n + 1})^{3}= $______$a^{7n + 1}$.

答案：
(1)$x^{12}$；
(2)$a^{7n + 1}$

例2 (1)若$a^{3m}= 2$,求$a^{6m}+a^{4m}\cdot a^{5m}$的值.
(2)若$a^{m}= \frac{1}{2}$,$a^{n}= 4$,求$a^{3m + 2n}$的值.
名师导引 公式的逆用是数学中一种重要方法,在逆用公式时一定要弄清公式的结构特点. 解决此类问题通常是将指数的和的形式转化为同底数幂的乘法；将指数的积的形式转化为幂的乘方.

答案：
(1) 因为$a^{3m}=2$，所以：
$\begin{aligned}a^{6m}&=(a^{3m})^2=2^2=4\\a^{4m}\cdot a^{5m}&=a^{4m + 5m}=a^{9m}=(a^{3m})^3=2^3=8\\a^{6m}+a^{4m}\cdot a^{5m}&=4 + 8=12\end{aligned}$
(2) 因为$a^m=\frac{1}{2}$，$a^n=4$，所以：
$\begin{aligned}a^{3m}&=(a^m)^3=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}\\a^{2n}&=(a^n)^2=4^2=16\\a^{3m + 2n}&=a^{3m}\cdot a^{2n}=\frac{1}{8}×16=2\end{aligned}$
(1) 12；
(2) 2

变式训练 (1)若$2^{x}= 3$,$2^{y}= 6$,则$2^{2x + y}= $54.
(2)若$(a^{2})^{3}\cdot a = 128$,则$a= $2.

答案：
(1)54；
(2)2

1. 计算$-(x^{3})^{4}$的结果是(D)
A.$-x^{7}$
B.$x^{7}$
C.$x^{12}$
D.$-x^{12}$

答案： D

2. 下列计算正确的是(C)

A.$4a - 2a = 2$
B.$a^{2}\cdot a^{4}= a^{8}$
C.$(a^{3})^{2}= a^{6}$
D.$(a^{3})^{2}= a^{5}$

答案： C

3. 填空：
$(-a^{3})^{2}=$$a^{6}$；
$(m^{2})^{6}\cdot m^{3}=$$m^{15}$；
$(x^{m})^{3}\cdot x=$$x^{3m + 1}$；
$[(a - b)^{2}]^{3}\cdot (a - b)^{4}=$$(a - b)^{10}$.

答案： $a^{6}$；$m^{15}$；$x^{3m + 1}$；$(a - b)^{10}$

4. (1)若$(8^{n})^{3}= 2^{18}$,那么$n$的值是2.
(2)已知：$x^{m}= 2$,$x^{n}= 3$,则$x^{3m + 2n}= $72.
(3)若$x^{2m}= 2$,$y^{3n}= 3$,则$(x^{2m})^{3}+(y^{2n})^{3}-x^{2m}y^{3n}= $11.

答案：
(1)2；
(2)72；
(3)11

5. 计算：
(1)$(y^{2})^{3}+(y^{3})^{2}-y\cdot y^{5}$；
(2)$(a^{2})^{3}\cdot (-a^{3})^{2}\cdot (-a^{2})^{3}$；
(3)$[(a + b)^{2}]^{3}\cdot [(a + b)^{2}]^{4}$；
(4)$[(x - y)^{3}]^{2}\cdot [(y - x)^{3}]^{2}$；
(5)$-a^{6}\cdot a^{5}\cdot a + 5(a^{3})^{4}-3(a^{3})^{3}\cdot a^{2}\cdot a$.

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(y^{2})^{3}+(y^{3})^{2}-y\cdot y^{5}\\=&y^{2×3}+y^{3×2}-y^{1 + 5}\\=&y^{6}+y^{6}-y^{6}\\=&y^{6}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a^{2})^{3}\cdot (-a^{3})^{2}\cdot (-a^{2})^{3}\\=&a^{2×3}\cdot a^{3×2}\cdot(-a^{2×3})\\=&a^{6}\cdot a^{6}\cdot(-a^{6})\\=& -a^{6 + 6+6}\\=& -a^{18}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&[(a + b)^{2}]^{3}\cdot [(a + b)^{2}]^{4}\\=&(a + b)^{2×3}\cdot(a + b)^{2×4}\\=&(a + b)^{6}\cdot(a + b)^{8}\\=&(a + b)^{6 + 8}\\=&(a + b)^{14}\end{aligned}$
(4)
因为$(y - x)^{3}=-(x - y)^{3}$，所以$[(y - x)^{3}]^{2}=[-(x - y)^{3}]^{2}=(x - y)^{6}$。
$\begin{aligned}&[(x - y)^{3}]^{2}\cdot [(y - x)^{3}]^{2}\\=&(x - y)^{3×2}\cdot(x - y)^{6}\\=&(x - y)^{6}\cdot(x - y)^{6}\\=&(x - y)^{6 + 6}\\=&(x - y)^{12}\end{aligned}$
(5)
$\begin{aligned}&-a^{6}\cdot a^{5}\cdot a + 5(a^{3})^{4}-3(a^{3})^{3}\cdot a^{2}\cdot a\\=&-a^{6 + 5+1}+5a^{3×4}-3a^{3×3}\cdot a^{2 + 1}\\=&-a^{12}+5a^{12}-3a^{9}\cdot a^{3}\\=&-a^{12}+5a^{12}-3a^{12}\\=&(-1 + 5-3)a^{12}\\=&a^{12}\end{aligned}$

6. (1)已知$3×9^{m}×27^{m}= 3^{16}$,求$m$的值.
(2)若$2x + 5y - 3 = 0$,求$4^{x}\cdot 32^{y}$的值.

答案：
(1)
$\begin{aligned}3×9^{m}×27^{m}&=3×(3^2)^m×(3^3)^m\\&=3×3^{2m}×3^{3m}\\&=3^{1 + 2m + 3m}\\&=3^{1 + 5m}\end{aligned}$
因为$3×9^{m}×27^{m}=3^{16}$，所以$3^{1 + 5m}=3^{16}$，则$1 + 5m = 16$，解得$m = 3$。
(2)
$\begin{aligned}4^{x}·32^{y}&=(2^2)^x·(2^5)^y\\&=2^{2x}·2^{5y}\\&=2^{2x + 5y}\end{aligned}$
因为$2x + 5y - 3 = 0$，所以$2x + 5y = 3$，则$4^{x}·32^{y}=2^{3}=8$。
(1) $m = 3$；
(2) $8$

7. $3^{1}$的末位数字是3,$3^{2}$的末位数字是9,$3^{3}$的末位数字是7,$3^{4}$的末位数字是1,$3^{5}$的末位数字是3,……观察发现,$3^{4n + 1}= (3^{4})^{n}×3$, ∵ $3^{4}$的末位数字是1, ∴ $(3^{4})^{n}$的末位数字是1, ∴ $(3^{4})^{n}×3$的末位数字是3. 同理可知,$3^{4n + 2}$的末位数字是9,$3^{4n + 3}$的末位数字是7. 解答下列问题：
(1)$3^{2024}$的末位数字是1,$14^{2022}$的末位数字是6；
(2)求$2^{2024}$的末位数字；
6
(3)求证：$12^{2024}+37^{2026}$能被5整除.
正确

答案：
(1)$1$，$6$；
(2)解（同解析（2））$6$；
(3)证明（同解析（3））成立（填“（此空填证明成立对应的表述，按要求只写结果）正确”之类的合理表述 ）。 （按照题目要求，第三问只写证明结果相关，本答案第三问填写“正确”） 。 整体答案为
(1)$1$，$6$；
(2)$6$；
(3)正确。