《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

积的乘方法则：$(ab)^{n}=$$a^{n}b^{n}$($n$为正整数)。
思考 ①公式中的$a,b$可以是多项式吗？
②公式中的底数可以是三个或三个以上的因数或因式的积吗？
填空 $(2x)^{3}=$$8x^{3}$；$(-\frac{1}{2}xy)^{3}=$$-\frac{1}{8}x^{3}y^{3}$。

答案： 积的乘方法则：$a^{n}b^{n}$；
思考答案（已体现在解析中，无需单独填答案）；
填空：$8x^{3}$；$-\frac{1}{8}x^{3}y^{3}$。

例1 计算：
(1)$(2x^{2})^{3}$；
(2)$(-3pq)^{2}$；
(3)$(3×10^{3})^{2}$；
(4)$[\frac{1}{2}x(x - 2y)^{2}]^{3}$。
名师导引 应用积的乘方法则时,要特别注意观察底数含有几个因式,并注意系数的符号。

答案：
(1)
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对于$(2x^{2})^{3}$，可得：
$(2x^{2})^{3}=2^{3}×(x^{2})^{3}=8x^{6}$
(2)
根据积的乘方法则，对于$(-3pq)^{2}$，可得：
$(-3pq)^{2}=(-3)^{2}p^{2}q^{2}=9p^{2}q^{2}$
(3)
根据积的乘方法则，对于$(3×10^{3})^{2}$，可得：
$(3×10^{3})^{2}=3^{2}×(10^{3})^{2}=9×10^{6}$
(4)
根据积的乘方法则，对于$[\frac{1}{2}x(x - 2y)^{2}]^{3}$，可得：
$[\frac{1}{2}x(x - 2y)^{2}]^{3}=(\frac{1}{2})^{3}x^{3}[(x - 2y)^{2}]^{3}=\frac{1}{8}x^{3}(x - 2y)^{6}$
综上，答案依次为：
(1)$8x^{6}$；
(2)$9p^{2}q^{2}$；
(3)$9×10^{6}$；
(4)$\frac{1}{8}x^{3}(x - 2y)^{6}$。

变式训练 计算：
(1)$(-2×10^{3})^{3}$；
(2)$(\frac{1}{2}ab^{3})^{2}$。

答案：
(1)
$\begin{aligned} (-2×10^{3})^{3} \\ =(-2)^{3} × (10^{3})^{3} \\ = -8 × 10^{9} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} (\frac{1}{2}ab^{3})^{2} \\ =(\frac{1}{2})^{2} × a^{2} × (b^{3})^{2} \\ = \frac{1}{4}a^{2}b^{6} \end{aligned}$

例2 (1)$(-2)^{2025}×(-\frac{1}{2})^{2026}=$$-\frac{1}{2}$。

答案： $-\frac{1}{2}$

(2)已知$4^{2x}·5^{2x + 1}-4^{2x + 1}·5^{2x}= 20^{3x - 4}$,求$x$的值。
名师导引 逆用积的乘方法则时,应先把各个因式的指数化成相等的数。对(2)题这类题目要注意观察,通过变形,逆用法则。

答案： $4^{2x}·5^{2x + 1}-4^{2x + 1}·5^{2x}$
$=4^{2x}·5^{2x}·5 - 4^{2x}·4·5^{2x}$
$=4^{2x}·5^{2x}(5 - 4)$
$=4^{2x}·5^{2x}·1$
$=(4×5)^{2x}$
$=20^{2x}$
则原方程可化为$20^{2x}=20^{3x - 4}$，
因为底数相同，指数相等，所以$2x = 3x - 4$，
解得$x = 4$。
$x=4$

(1)计算：$(2\frac{2}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{11}×(-\frac{1}{2})^{12}$。
(2)已知$9^{n + 1}-3^{2n}= 72$,求$n$的值。

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(2\frac{2}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{11}×(-\frac{1}{2})^{12}\\=&(\frac{12}{5})^{11}×(-\frac{5}{6})^{11}×(-\frac{1}{2})^{11}×(-\frac{1}{2})\\=&\left[\frac{12}{5}×(-\frac{5}{6})×(-\frac{1}{2})\right]^{11}×(-\frac{1}{2})\\=&\left[\frac{12}{5}×\frac{5}{6}×\frac{1}{2}\right]^{11}×(-\frac{1}{2})\\=&(1)^{11}×(-\frac{1}{2})\\=&-\frac{1}{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}9^{n + 1}-3^{2n}&=72\\(3^2)^{n+1}-3^{2n}&=72\\3^{2n+2}-3^{2n}&=72\\3^{2n}(3^2 - 1)&=72\\3^{2n}×8&=72\\3^{2n}&=9\\3^{2n}&=3^2\\2n&=2\\n&=1\end{aligned}$
(1) $-\frac{1}{2}$；
(2) $n=1$

1. 计算$(-2a^{3})^{2}$的结果是(D)
A.$-4a^{5}$
B.$4a^{5}$
C.$-4a^{6}$
D.$4a^{6}$

答案： D

2. 下列各式计算正确的是(C)
A.$(a^{2})^{4}= a^{6}$
B.$(ab)^{3}= ab^{3}$
C.$a^{2}·a^{3}= a^{5}$
D.$3a^{2}+2a^{2}= 5a^{4}$

答案： C

3. 计算：(1)$(-x^{2}y)^{2}=$$x^{4}y^{2}$；
(2)$2x^{2}y·(-xy)^{3}=$$-2x^{5}y^{4}$。

答案：
(1)$x^{4}y^{2}$；
(2)$-2x^{5}y^{4}$