《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

巩固提升 如图,在△ABC 中,∠A = 30°,∠B = 60°,CE 平分∠ACB.
(1)求∠ACE 的度数；
(2)CD⊥AB 于点 D,点 F 在 CE 上,∠CDF = 75°,求∠CFD 的度数.

答案：
(1)
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，则$\angle ACB=180^{\circ}-\angle A - \angle B=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$。
因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}$。
(2)
因为$CD\perp AB$，$\angle B = 60^{\circ}$，在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BCD = 90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
由
(1)知$\angle ACE = 45^{\circ}$，所以$\angle DCF=\angle ACE-\angle BCD = 45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$。
在$\triangle CDF$中，已知$\angle CDF = 75^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle CFD=180^{\circ}-\angle CDF-\angle DCF=180^{\circ}-75^{\circ}-15^{\circ}=90^{\circ}$。
综上，
(1)中$\angle ACE$的度数为$45^{\circ}$；
(2)中$\angle CFD$的度数为$90^{\circ}$。

例 3 如图,已知∠B = ∠ADB,∠C = ∠CAD,若∠BAC = 78°,求∠BAD 的度数.

名师导引 可以设∠C = ∠CAD = x,利用三角形外角的性质表示出其余的角,再借助三角形内角和为 180°建立方程. 在角的求值问题中,常常利用图形关系或内角、外角之间的关系进行转化,然后利用三角形内角和定理列方程求解.

答案： 设$\angle C = \angle CAD = x$。
根据三角形外角性质，$\angle ADB=\angle C+\angle CAD = 2x$。
因为$\angle B = \angle ADB$，所以$\angle B = 2x$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B + \angle BAC+\angle C = 180^{\circ}$，已知$\angle BAC = 78^{\circ}$，则$2x + 78^{\circ}+x = 180^{\circ}$。
$3x=180^{\circ}-78^{\circ}=102^{\circ}$，解得$x = 34^{\circ}$。
$\angle BAD=\angle BAC-\angle CAD=78^{\circ}- 34^{\circ}=44^{\circ}$。
综上，$\angle BAD$的度数为$44^{\circ}$。

巩固提升 如图,在△ABC 中,AB = AC,D,E 分别在边 AC,AB 上,且 BC = BD,AD = DE = EB,求∠A 的度数.

答案： 设∠A=x。
∵AD=DE，
∴∠AED=∠A=x（等边对等角），
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-2x（三角形内角和定理）。
∵DE=EB，设∠EBD=∠EDB=y，
∴∠DEB=180°-2y（三角形内角和定理）。
∵A，E，B共线，
∴∠AED+∠DEB=180°，即x+180°-2y=180°，得x=2y，
∴y= x/2。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角），设∠ABC=∠ACB=z，
则∠DBC=∠ABC-∠EBD=z - x/2。
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=z（等边对等角）。
在△BDC中，∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，即(z - x/2)+z+z=180°，得3z - x/2=180°①。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即x+2z=180°，得z=(180°-x)/2②。
将②代入①：3×(180°-x)/2 - x/2=180°，
化简得270°-2x=180°，解得x=45°。
∠A=45°。

1. 以下列各组线段为边,能组成三角形的是(B)
A.2 cm,3 cm,5 cm
B.5 cm,6 cm,10 cm
C.1 cm,1 cm,3 cm
D.3 cm,4 cm,9 cm

答案： B

2. (跨学科融合)光线在镜面上反射时,经过入射点与镜面垂直的直线是法线,反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角. 如图,两束光线$ l_1,l_2 $分别从不同方向射向镜面 m,入射点为$ A,B,n_1,n_2 $是法线$. l_1,l_2 $的反射光线相交于点 C. 若∠1 = 30°,∠2 = 50°,则∠ACB 的度数是(C)

A.30°
B.50°
C.80°
D.90°

答案： C

3. 如图,将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠,点 A 落在点 F 处,已知∠1 + ∠2 = 100°,则∠A 的度数为(C)


A.80°
B.100°
C.50°
D.以上都不对

答案： C

4. 下列条件：①∠A + ∠B = ∠C；②∠A：∠B：∠C = 5：3：2；③∠A = 90° - ∠B；④∠A = 2∠B = 3∠C；⑤∠A = $\frac{1}{3}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C. 其中能确定△ABC 是直角三角形的有(B)
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

答案： B

5. 等腰三角形的周长为 17 cm,一边长为 4 cm,则其底边长为4cm.

答案： 4