《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

变式训练 在如图所示的直角坐标系中,每个小方格都是边长为1的正方形,$\triangle ABC$的顶点均在格点上,点$A的坐标是(-3,-1)$.
(1)在图中作出$\triangle ABC关于x轴的对称图形\triangle A_1B_1C_1$；

(2)作与$\triangle A_1B_1C_1关于y轴对称的\triangle A_2B_2C_2$,并写出点$C_2$的坐标；
(3)求$\triangle AA_1A_2$的面积.

答案：
(1) 根据关于$x$轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得到$A_1(-3,1)$，$B_1$（$B$关于$x$轴对称点，假设$B$坐标为$(-2,-3)$，则$B_1(-2,3)$ ），$C_1$（$C$关于$x$轴对称点，假设$C$坐标为$(-1,-2)$，则$C_1(-1,2)$ ），在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$并连接成$\triangle A_1B_1C_1$。
(2) 根据关于$y$轴对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得到$A_2(3,1)$，$B_2(2,3)$，$C_2(1,2)$，在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$并连接成$\triangle A_2B_2C_2$，点$C_2$的坐标为$(1,2)$。
(3)
因为$A$、$A_1$关于$x$轴对称，$A_1$、$A_2$关于$y$轴对称，所以$OA=OA_1 = OA_2$，且$\angle A_1OA_2 = 90^{\circ}$。
$S_{\triangle AA_1A_2}=S_{\triangle AOA_1}+S_{\triangle AOA_2}+S_{\triangle A_1OA_2}$
$S_{\triangle AOA_1}=\frac{1}{2}×2×3 = 3$
$S_{\triangle AOA_2}=\frac{1}{2}×2×3 = 3$
$S_{\triangle A_1OA_2}=\frac{1}{2}×6×2=6$
$S_{\triangle AA_1A_2}=3 + 3+6=6$
综上，答案依次为：
(1)按上述方法作出图形；
(2)作出图形，$C_2(1,2)$；
(3)$6$。

1. 剪纸是我国民间艺术之一.如图放置的剪纸作品,它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合.则点$A(-4,2)关于y$轴对称的点的坐标为(C)

A.$(-4,-2)$
B.$(4,-2)$
C.$(4,2)$
D.$(-2,-4)$

答案： C

2. 若点$M(1 - 2m,m - 1)$关于$y$轴对称的点在第一象限,则$m$的取值范围在数轴上表示正确的是(B)

A.
B.
C.
D.

答案： B

3. 如图是蜡烛平面镜成像原理图(物体与像关于平面镜对称).以桌面为$x$轴,镜面侧面为$y$轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系.若某时刻火焰顶尖$S点的坐标是(x - 2,2)$,火焰顶尖的虚像$S'的坐标是(3,y)$,则$x + y$的值为______.

1

答案： 1

4. 已知点$A(2a + b,5 + a)$,$B(2b - 1,-a + b)$.(1)若点$A$,$B关于x$轴对称,求$a$,$b$的值；(2)若点$A$,$B关于y$轴对称,求$(4a + 4b)^{2025}$的值.

答案：
(1)因为点A，B关于x轴对称，所以横坐标相等，纵坐标互为相反数。
可得方程组：
$\begin{cases}2a + b = 2b - 1 \\5 + a + (-a + b) = 0\end{cases}$
化简第二个方程：$5 + a - a + b = 0$，即$5 + b = 0$，解得$b = -5$。
将$b = -5$代入第一个方程：$2a - 5 = 2×(-5) - 1$，$2a - 5 = -11$，$2a = -6$，解得$a = -3$。
(2)因为点A，B关于y轴对称，所以纵坐标相等，横坐标互为相反数。
可得方程组：
$\begin{cases}5 + a = -a + b \\2a + b + (2b - 1) = 0\end{cases}$
由第一个方程得：$2a - b = -5$ ①
第二个方程化简：$2a + 3b = 1$ ②
② - ①得：$4b = 6$，解得$b = \frac{3}{2}$。
将$b = \frac{3}{2}$代入①：$2a - \frac{3}{2} = -5$，$2a = -\frac{7}{2}$，解得$a = -\frac{7}{4}$。
则$4a + 4b = 4×(-\frac{7}{4}) + 4×\frac{3}{2} = -7 + 6 = -1$，所以$(4a + 4b)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
(1)$a=-3$，$b=-5$；
(2)$-1$

5. (跨学科融合)如图,弹性小球从点$P(0,1)$出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形$OABC$的边时反弹,反弹的反射角等于入射角(反射前、后的线路与边的夹角相等),当小球第1次碰到正方形的边时接触点为$P_1(2,0)$,第2次碰到正方形的边时接触点为$P_2(4,1)$,……$第n次碰到正方形的边时接触点为P_n$,则点$P_{2025}$的坐标为______(0,3).

答案： (0,3)