《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

在四边形$ABCD$中,$\angle BCD= 90^{\circ}$,$BD平分\angle ABC$,$AB= 6$,$BC= 9$,$CD= 4$,则四边形$ABCD$的面积为30.

答案： 30

1. 三角形内到三边距离相等的点是(D)
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点

答案： D

2. 如图,直线$AB$,$CD相交于点O$,$ME\perp AB于点E$,$MF\perp CD于点F$,且$ME= MF$. 若$\angle BOD= 50^{\circ}$,则$\angle AOM$的度数为(D)

A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$65^{\circ}$

答案： D

3. 如图,$\triangle ABC的\angle ABC的外角的平分线BD与\angle ACB的外角的平分线CE相交于点P$. 若点$P到AC的距离为6$,则点$P到AB$的距离为6.

答案： 6

4. 如图,在$\triangle ABC$中,点$O是\angle ABC$,$\angle ACB$的平分线的交点,$AB+BC+AC= 12$,过$O作OD\perp BC于点D$,若$OD= 2$,则$\triangle ABC$的面积是12.

答案： 答题卡：
作$OE \perp AB$于点$E$，$OF \perp AC$于点$F$，
因为$O$是$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线的交点，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，
所以$OE = OD = 2$，$OF = OD = 2$，
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ACO}$
$=\frac{1}{2}AB× OE+\frac{1}{2}BC× OD+\frac{1}{2}AC× OF$
$=\frac{1}{2}(AB + BC+AC)×2$
因为$AB + BC + AC = 12$，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×12×2=12$。
故答案为：$12$。

5. 已知$OP平分\angle AOB$,$\angle DCE的顶点C在射线OP$上,射线$CD交射线OA于点F$,射线$CE交射线OB于点G$.
(1)如图1,若$CD\perp OA$,$CE\perp OB$,请直接写出线段$CF与CG$的数量关系；
(2)如图2,若$\angle AOB= 120^{\circ}$,$\angle DCE= \angle AOC$,试判断线段$CF与CG$的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)CF=CG
(2)CF=CG
理由：过点C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵∠AOB=120°，OP平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC=60°
∵CM⊥OA，CN⊥OB
∴∠OMC=∠ONC=90°
在四边形OMCN中，∠MCN=360°-∠OMC-∠ONC-∠AOB=360°-90°-90°-120°=60°
∵∠DCE=∠AOC=60°
∴∠FCG=60°
∴∠MCN=∠FCG
∴∠MCN-∠FCN=∠FCG-∠FCN，即∠MCF=∠NCG
在△CMF和△CNG中
$\left\{\begin{array}{l} ∠CMF=∠CNG=90°\\ CM=CN\\ ∠MCF=∠NCG\end{array}\right.$
∴△CMF≌△CNG（ASA）
∴CF=CG

例1 如图,已知 $ AE // BF $,且 $ AC = BD $。
请你添加一个条件$AE = BF$（答案不唯一）,使 $ \triangle ADE \cong \triangle BCF $,并加以证明。

名师导引 在证明两个三角形全等时,可灵活运用 $ SAS $、$ ASA $、$ AAS $、$ SSS $ 等判定方式,综合条件及结论,挖掘证明的方式。
巩固提升 如图,$ \triangle ABC $ 的高 $ AD $ 所在直线与高 $ BE $ 所在直线相交于点 $ F $,过点 $ F $ 作 $ FG // BC $,交直线 $ AB $ 于点 $ G $,又 $ \angle ABC = 45^{\circ} $。求证：
(1) $ \triangle BDF \cong \triangle ADC $；
(2) $ FG + DC = AD $。

答案： 例1：
添加条件：$AE = BF$（答案不唯一）。
证明：
$\because AC = BD$，
$\therefore AC + CD = BD + CD$，
即$AD = BC$，
$\because AE// BF$，
$\therefore \angle A = \angle B$（两直线平行，内错角相等），
在$\triangle ADE$和$\triangle BCF$中，
$\begin{cases}AE = BF\\\angle A = \angle B\\AD = BC\end{cases}$
$\therefore \triangle ADE\cong\triangle BCF(SAS)$。
巩固提升：
(1)
$\because AD\perp BC$，$BE\perp AC$，
$\therefore \angle ADB = \angle ADC = \angle BEA = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF+\angle AFD = 90^{\circ}$，$\angle DBC+\angle C = 90^{\circ}$，
$\because \angle AFD = \angle BFC$（对顶角相等），
$\therefore \angle DAF=\angle DBC$，
在$\triangle BDF$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}\angle DAF=\angle DBC\\\angle ADB = \angle ADC\\BD = AD\end{cases}$
$\therefore \triangle BDF\cong\triangle ADC(AAS)$。
(2)
由$\triangle BDF\cong\triangle ADC$，
得$DF = DC$，
$\because \angle ABC = 45^{\circ}$，$AD\perp BC$，
$\therefore \triangle ABD$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BAD = 45^{\circ}$，
$\therefore AD = BD$，
$\because FG// BC$，
$\therefore \angle AGF=\angle ABC = 45^{\circ}$，
$\angle GFA=\angle FBC$，
$\because \angle BAD = \angle AGF = 45^{\circ}$，
$\therefore AG = FG$，
$\because \angle GFA=\angle FBC$，$\angle AFD=\angle BFC$，
$\therefore \angle GFA+\angle AFD=\angle FBC+\angle BFC = 90^{\circ}$，
即$\angle GFD = 90^{\circ}$，
$\because AD = BD$，$DF = DC$，
$\therefore FG+DC = AG+DF = AD$。