《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

直角三角形中,如果一个角等于 $30^{\circ}$,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
思考 ①有哪些方法可以证明上述结论？
②直角三角形中,如果一条直角边是斜边的一半,那么这条直角边所对的角是 $30^{\circ}$ 吗？
填空 如图,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于 $D$,$CD = 3$,则 $DB = $6。

答案： 斜边；①见解析；②是；6

例 1 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 15^{\circ}$,$AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于 $D$,交 $AB$ 于 $E$,若 $DB = 10\ cm$,则 $AC = $5 cm。

名师导引 将垂直平分线上的点与线段的两端点连接,可构造等腰三角形。

答案： 连接$AD$，
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，
所以$AD = BD = 10 cm$，
则$\angle B = \angle BAD = 15^{\circ}$，
所以$\angle ADC = \angle B + \angle BAD = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACD$中，
$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ADC = 30^{\circ}$，
所以$AC =\frac{1}{2} AD = 5 cm$。
故本题答案为$5 cm$。

变式训练 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 30^{\circ}$,线段 $AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$,又 $BD// AC$。求证：
(1) $AE = BE$；
(2) $BC + CE = DE$。

答案：
(1) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle ABC=30^{\circ}$，$\therefore \angle BAC=60^{\circ}$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=30^{\circ}$。
$\because \angle ABE=\angle ABC=30^{\circ}$，$\therefore \angle BAE=\angle ABE$。
$\therefore AE=BE$。
(2) $\because BD// AC$，$\angle C=90^{\circ}$，$\therefore \angle DBC=\angle C=90^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
由角平分线定理，$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=2$（$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=30^{\circ}$，$AB=2AC$），$\therefore BE=2EC$，设$EC=a$，则$BE=2a$，$BC=BE+EC=3a$。
在$Rt\triangle AEC$中，$\angle EAC=30^{\circ}$，$\angle C=90^{\circ}$，$\therefore \angle AEC=60^{\circ}$，$\therefore \angle DEB=\angle AEC=60^{\circ}$（对顶角相等）。
在$Rt\triangle DBE$中，$\angle DEB=60^{\circ}$，$\angle DBC=90^{\circ}$，$\therefore \angle EDB=30^{\circ}$，$\therefore DE=2BE=4a$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对直角边是斜边一半）。
$\because BC+CE=3a+a=4a$，$\therefore BC+CE=DE$。

例 2 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AB = 6$,$P$ 是 $AC$ 边上任意一点(与 $A$,$C$ 两点不重合),$Q$ 是 $CB$ 延长线上一点,$BQ = AP$,连接 $PQ$ 交 $AB$ 于 $D$,过 $P$ 作 $PE\perp AB$ 于 $E$。当 $\angle CQP = 30^{\circ}$ 时,求 $AP$ 的长。

名师导引 观察图形,结合已知条件,充分利用等边三角形及含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质,建立有关线段的数量关系,也可通过添加辅助线构造全等三角形解决问题。
变式训练 例 2 中,去掉“$\angle CQP = 30^{\circ}$”这一条件,求证：$DE = \frac{1}{2}AB$。

答案： 解：过$P$作$PF// BC$交$AB$于$F$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle A=\angle ABC = \angle C = 60^{\circ}$。
因为$PF// BC$，所以$\angle AFP=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle APF=\angle C = 60^{\circ}$。
所以$\triangle APF$是等边三角形，所以$AP = PF$。
又因为$BQ = AP$，所以$PF = BQ$。
因为$PF// BC$，所以$\angle PFD=\angle QBD$，$\angle FPD=\angle BQD$。
在$\triangle PFD$和$\triangle QBD$中：
$\begin{cases}\angle PFD=\angle QBD\\\angle FPD=\angle BQD\\PF = BQ\end{cases}$
所以$\triangle PFD\cong\triangle QBD(AAS)$，所以$FD = BD$。
因为$PE\perp AB$，$\triangle APF$是等边三角形，所以$AE = EF$（等边三角形三线合一）。
所以$DE=EF + FD=\frac{1}{2}AF+\frac{1}{2}FB=\frac{1}{2}(AF + FB)=\frac{1}{2}AB$。
综上，$DE = \frac{1}{2}AB$得证。