《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

例2 计算：
(1)$(m + n - 2)^{2}$；
(2)$(m + n + 2)(m - n - 2)$；
(3)$(m - n + 2)(m + n - 2)$.
名师导引 本题需要先添括号,将括号中的若干项视作一项,然后再应用乘法公式.
变式训练 计算：
(1)$(2x + 3y + 1)(2x - 3y + 1)$；
(2)$(2x - 3y - 1)^{2}$.

答案： 例2 计算：
(1)
$\begin{aligned}&(m + n - 2)^{2}\\=&[(m + n)-2]^{2}\\=&(m + n)^{2}-2×2×(m + n)+2^{2}\\=&m^{2}+2mn + n^{2}-4m - 4n+4\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(m + n + 2)(m - n - 2)\\=&[m+(n + 2)][m-(n + 2)]\\=&m^{2}-(n + 2)^{2}\\=&m^{2}-(n^{2}+4n + 4)\\=&m^{2}-n^{2}-4n - 4\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(m - n + 2)(m + n - 2)\\=&[m-(n - 2)][m+(n - 2)]\\=&m^{2}-(n - 2)^{2}\\=&m^{2}-(n^{2}-4n + 4)\\=&m^{2}-n^{2}+4n - 4\end{aligned}$
变式训练 计算：
(1)
$\begin{aligned}&(2x + 3y + 1)(2x - 3y + 1)\\=&[(2x + 1)+3y][(2x + 1)-3y]\\=&(2x + 1)^{2}-(3y)^{2}\\=&4x^{2}+4x + 1-9y^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(2x - 3y - 1)^{2}\\=&[(2x - 3y)-1]^{2}\\=&(2x - 3y)^{2}-2×(2x - 3y)×1+1^{2}\\=&4x^{2}-12xy + 9y^{2}-4x + 6y+1\end{aligned}$

1. 下列添括号正确的是(C)
A.$a - b - c = a - (b - c)$
B.$a + b - c = a + (b + c)$
C.$- 2x + 4y = - 2(x - 2y)$
D.$4m + n - 2 = 4m - (n + 2)$

答案： C

2. 下列各式能用完全平方公式计算的是(C)
A.$(2a + b)(a - 2b)$
B.$(a + 2b)(2b - a)$
C.$(2a + b)( - 2a - b)$
D.$(b - 2a)( - 2a - b)$

答案： C

3. 若$a - b = 2$,$a - c = 1$,则$(2a - b - c)^{2} + (c - b)^{2}$的值为10.

答案： 10

4. (1)$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - $$2ab$$ = (a - b)^{2} + $$2ab$；
(2)$(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + $$4ab$；
(3)$(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - $$4ab$；
(4)$2ab = $$(a + b)^{2} $$ - (a^{2} + b^{2}) = (a^{2} + b^{2}) - $$(a - b)^{2} $.

答案：
(1) $2ab$；$2ab$
(2) $4ab$
(3) $4ab$
(4) $(a + b)^{2} $；$ (a - b)^{2} $

5. 计算：
(1)$( - 3a^{2}b)^{2} \cdot ( - a^{2}c^{3})^{3}$；
(2)$(2x + y - 6)(2x - y + 6)$.

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(-3a^{2}b)^{2}\cdot(-a^{2}c^{3})^{3}\\=&(-3)^2\cdot(a^{2})^2\cdot b^{2}\cdot(-1)^3\cdot(a^{2})^3\cdot(c^{3})^3\\=&9a^{4}b^{2}\cdot(-1)\cdot a^{6}c^{9}\\=& - 9a^{4 + 6}b^{2}c^{9}\\=& - 9a^{10}b^{2}c^{9}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(2x + y - 6)(2x - y + 6)\\=&[2x+(y - 6)][2x-(y - 6)]\\=&(2x)^{2}-(y - 6)^{2}\\=&4x^{2}-(y^{2}-12y + 36)\\=&4x^{2}-y^{2}+12y - 36\end{aligned}$

6. 用两种不同的方法计算一个图形的面积,可以得到一个数学等式.例如由图1可以得到$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$.请解答下列问题：
(1)通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$；
(2)利用图3解决问题：若$a + b + c = 10$,$ab + ac + bc = 32$,则$a^{2} + b^{2} + c^{2} = $36.
(3)如图4,四边形$ABCD$,$NGDH$,$MEDQ$是正方形,四边形$PQDH和EFGD$是长方形,其中$EFGD的面积是200$,$AE = 10$,$CG = 20$,求图中阴影部分的面积.

设正方形$ABCD$的边长为$a$，正方形$MEDQ$的边长为$x$，正方形$NGDH$的边长为$y$。
由$AE=10$得$x=ED=AD-AE=a-10$；由$CG=20$得$y=DG=DC-CG=a-20$。
$EFGD$为长方形，面积$ED\cdot DG=xy=200$，即$(a-10)(a-20)=200$。
解得$a=30$（$a=0$舍去），则$x=20$，$y=10$。
阴影部分面积为$x^{2}+y^{2}=20^{2}+10^{2}=500$。
500

答案：
(1)$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
(2)36
(3)设正方形$ABCD$的边长为$a$，正方形$MEDQ$的边长为$x$，正方形$NGDH$的边长为$y$。
由$AE=10$得$x=ED=AD-AE=a-10$；由$CG=20$得$y=DG=DC-CG=a-20$。
$EFGD$为长方形，面积$ED\cdot DG=xy=200$，即$(a-10)(a-20)=200$。
解得$a=30$（$a=0$舍去），则$x=20$，$y=10$。
阴影部分面积为$x^{2}+y^{2}=20^{2}+10^{2}=500$。
500